Área de recintos delimitados por una parábola y un cuadrado

**a) Dibuje la gráfica de la función y los recintos. (1 punto)** Primero, representamos el cuadrado con vértices $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(2,2)$ y $D(0,2)$. Este cuadrado ocupa la región $0 \le x \le 2$ y $0 \le y \le 2$. A continuación, analizamos la parábola $y = 2x^2$ dentro de este intervalo: - Si $x=0$, $y=2(0)^2=0$. Pasa por el vértice $A(0,0)$. - Si $x=1$, $y=2(1)^2=2$. Pasa por el punto $(1,2)$, que está en el lado superior del cuadrado (segmento $CD$). - Si $x=2$, $y=2(2)^2=8$. Este punto queda fuera del cuadrado, ya que la altura máxima es $y=2$. La parábola entra en el cuadrado por $(0,0)$ y sale por $(1,2)$. Esto divide al cuadrado en dos recintos: - **Recinto 1 ($R_1$):** La región superior izquierda, delimitada por el eje $y$ ($x=0$), el lado superior del cuadrado ($y=2$) y la parábola. - **Recinto 2 ($R_2$):** La región restante del cuadrado (inferior derecha). 💡 **Tip:** Para dibujar una parábola, siempre es útil localizar el vértice (en este caso $(0,0)$) y un par de puntos auxiliares dentro del dominio de interés.

A continuación se muestra la representación gráfica de la situación descrita, donde se aprecia la parábola cortando el cuadrado.

**b) Calcule el área de cada uno de ellos. (1.5 puntos)** Calcularemos primero el área del recinto superior, al que llamaremos $A_1$. Este recinto está limitado superiormente por la recta $y=2$ e inferiormente por la curva $y=2x^2$, desde $x=0$ hasta $x=1$ (punto donde la parábola sale del cuadrado). El área se calcula mediante la integral definida: $$A_1 = \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_1 = \left[ 2x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$ $$A_1 = \left( 2(1) - \frac{2(1)^3}{3} \right) - \left( 2(0) - \frac{2(0)^3}{3} \right)$$ $$A_1 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6-2}{3} = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a,b]$ es $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$. Aquí, $2 \ge 2x^2$ en el intervalo $[0,1]$. ✅ **Resultado Área 1:** $$\boxed{A_1 = \frac{4}{3} \text{ u}^2 \approx 1.33 \text{ u}^2}$$

Para hallar el área del segundo recinto ($A_2$), podemos optar por dos métodos. El más sencillo es restar el área $A_1$ al área total del cuadrado. 1. **Área del cuadrado:** Como los lados miden 2 unidades, el área total es: $$A_{\text{total}} = 2 \times 2 = 4 \text{ u}^2$$ 2. **Cálculo de $A_2$:** $$A_2 = A_{\text{total}} - A_1$$ $$A_2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12-4}{3} = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ *Nota alternativa:* También se podría calcular mediante integración dividiendo el recinto en dos partes: $$A_2 = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 + [2x]_1^2 = \frac{2}{3} + (4-2) = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado Área 2:** $$\boxed{A_2 = \frac{8}{3} \text{ u}^2 \approx 2.67 \text{ u}^2}$$