Límite con parámetros y regla de L'Hôpital

**Calcule $a$ para que las siguientes funciones $f(x) = \frac{\text{sen } ax}{x}$ y $g(x) = \frac{\cos^2 x - 1}{x^2}$ tengan el mismo límite en el punto 0.** En primer lugar, calculamos el límite de la función $f(x)$ cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } ax}{x}$$ Al evaluar en $x = 0$, obtenemos la forma indeterminada $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $(\text{sen } ax)' = a \cos ax$ - Derivada del denominador: $(x)' = 1$ Por tanto: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } ax}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a \cos ax}{1} = a \cos(0) = a \cdot 1 = a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se aplica cuando obtenemos formas indeterminadas del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. La derivada de $\text{sen}(u(x))$ es $u'(x) \cos(u(x))$. $$\boxed{\lim_{x \to 0} f(x) = a}$$

Calculamos ahora el límite de $g(x)$ cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{x^2}$$ Al evaluar, obtenemos nuevamente la indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: - Derivada del numerador: $(\cos^2 x - 1)' = 2 \cos x (-\text{sen } x) = -2 \text{sen } x \cos x$. Usando trigonometría, esto es $-\text{sen}(2x)$. - Derivada del denominador: $(x^2)' = 2x$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(2x)}{2x}$$ Como volvemos a obtener $\frac{0}{0}$, aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(2x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \cos(2x)}{2} = \frac{-2 \cos(0)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ 💡 **Tip:** Podrías haber usado la identidad $\cos^2 x - 1 = -\text{sen}^2 x$ para simplificar el paso, pero la aplicación sucesiva de L'Hôpital es un método sistemático muy seguro. $$\boxed{\lim_{x \to 0} g(x) = -1}$$

El enunciado establece que ambas funciones deben tener el mismo límite en el punto $x = 0$. Por lo tanto, igualamos los resultados obtenidos en los pasos anteriores: $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} g(x)$$ Sustituyendo los valores calculados: $$a = -1$$ Para este valor de $a$, ambas funciones convergen al valor $-1$ cuando $x$ se aproxima a $0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -1}$$ A continuación se muestra la representación gráfica de ambas funciones para $a = -1$, donde se observa que ambas tienden al punto $(0, -1)$.