Ecuación del plano por tres puntos e intersección con recta perpendicular

**a) Halle la ecuación general o implícita del plano $\pi$ que contiene a esos puntos. (1.25 puntos)** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto perteneciente al plano (por ejemplo, el punto $A$) y dos vectores directores que no sean paralelos entre sí. Utilizaremos los vectores que unen los puntos dados: $$\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un plano queda unívocamente determinado por tres puntos no alineados. Los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ definen la dirección del plano en el espacio.

El vector normal $\vec{n_\pi}$ es perpendicular a los vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila (o aplicando Sarrus): $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i}(6 - 0) - \mathbf{j}(-3 - 0) + \mathbf{k}(0 - (-2)) = 6\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$ Por tanto, el vector normal es $\vec{n_\pi} = (6, 3, 2)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ devuelve un vector que es simultáneamente perpendicular a ambos.

La ecuación general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos el vector normal $\vec{n_\pi} = (6, 3, 2)$: $$6x + 3y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(1, 0, 0)$: $$6(1) + 3(0) + 2(0) + D = 0 \implies 6 + D = 0 \implies D = -6$$ La ecuación del plano $\pi$ es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{6x + 3y + 2z - 6 = 0}$$

**b) Calcule la ecuación de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el origen de coordenadas y encuentre el punto de intersección de la recta y el plano. (1.25 puntos)** Sea $r$ la recta buscada. Si $r$ es perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano: $$\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (6, 3, 2)$$ Como la recta pasa por el origen $O(0, 0, 0)$, sus ecuaciones paramétricas son: $$r \equiv \begin{cases} x = 6\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La recta perpendicular a un plano siempre utiliza el vector normal del plano como su vector director.

Para hallar el punto de intersección $P$, sustituimos las expresiones de $x$, $y$ y $z$ de la recta en la ecuación del plano $\pi$: $$6(6\lambda) + 3(3\lambda) + 2(2\lambda) - 6 = 0$$ $$36\lambda + 9\lambda + 4\lambda - 6 = 0$$ $$49\lambda = 6 \implies \lambda = \frac{6}{49}$$ Ahora, calculamos las coordenadas del punto $P$ sustituyendo el valor de $\lambda$ en la recta: $$x = 6 \left(\frac{6}{49}\right) = \frac{36}{49}$$ $$y = 3 \left(\frac{6}{49}\right) = \frac{18}{49}$$ $$z = 2 \left(\frac{6}{49}\right) = \frac{12}{49}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(\frac{36}{49}, \frac{18}{49}, \frac{12}{49}\right)}$$