Cálculo de determinante y estudio de raíces

**a) Obtenga el polinomio $p(x) = \text{Det}(A)$. (1.25 puntos)** Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus para una matriz $3 \times 3$: $$A = \begin{pmatrix} -x & 1 & 0 \\ 0 & -x & 1 \\ c & b & a-x \end{pmatrix}$$ Determinante: $$\text{Det}(A) = [(-x) \cdot (-x) \cdot (a-x) + 1 \cdot 1 \cdot c + 0 \cdot 0 \cdot b] - [c \cdot (-x) \cdot 0 + b \cdot 1 \cdot (-x) + (a-x) \cdot 0 \cdot 1]$$ Operamos cada término: - Primer bloque: $x^2(a-x) + c + 0 = ax^2 - x^3 + c$ - Segundo bloque: $0 - bx + 0 = -bx$ Restamos ambos bloques: $$p(x) = (ax^2 - x^3 + c) - (-bx)$$ $$p(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de Sarrus consiste en sumar los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restar los productos de la diagonal secundaria y las suyas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{p(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c}$$

**b) Si $c = 0$, busque las raíces de $p(x)$ dependiendo de $a$ y $b$. (1.25 puntos)** Si $c = 0$, el polinomio se simplifica a: $$p(x) = -x^3 + ax^2 + bx$$ Para buscar las raíces de $p(x)$, igualamos el polinomio a cero: $$-x^3 + ax^2 + bx = 0$$ Podemos extraer factor común $-x$: $$-x(x^2 - ax - b) = 0$$ De aquí obtenemos la primera raíz de forma inmediata: $$x_1 = 0$$ Las otras raíces vendrán dadas por la solución de la ecuación de segundo grado: $$x^2 - ax - b = 0$$ 💡 **Tip:** Al extraer factor común $x$ en un polinomio sin término independiente, siempre obtienes $x=0$ como una de las raíces.

Resolvemos $x^2 - ax - b = 0$ utilizando la fórmula general: $$x = \frac{-(-a) \pm \sqrt{(-a)^2 - 4(1)(-b)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4b}}{2}$$ Las raíces del polinomio dependen del valor del discriminante $\Delta = a^2 + 4b$. Analizamos los casos posibles para las raíces reales: 1. **Si $a^2 + 4b \gt 0$:** Existen tres raíces reales distintas: $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4b}}{2}, \quad x_3 = \frac{a - \sqrt{a^2 + 4b}}{2}}$$ 2. **Si $a^2 + 4b = 0$:** Hay una raíz real simple y una raíz real doble: - $x_1 = 0$ - $x_2 = x_3 = \frac{a}{2}$ *(Nota: Si además $a=0$, entonces $x=0$ es una raíz triple)*. 3. **Si $a^2 + 4b \lt 0$:** Solo existe una raíz real: $$\boxed{x_1 = 0}$$ (Las otras dos raíces serían complejas conjugadas). 💡 **Tip:** El número de raíces reales de una ecuación cuadrática depende exclusivamente del signo de su discriminante $b^2 - 4ac$.