Estudio de Monotonía, Extremos e Integración

**a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de $f(x)$. (1.5 puntos)** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero debemos encontrar los puntos críticos de la función, que son aquellos donde su derivada es igual a cero: $f'(x) = 0$. La derivada viene dada por la expresión: $$f'(x) = (x+2)(x^2 - 9)$$ Igualamos a cero cada factor: 1. $x + 2 = 0 \implies x = -2$ 2. $x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$ Los puntos críticos son **$x = -3$**, **$x = -2$** y **$x = 3$**. 💡 **Tip:** Los puntos críticos dividen el dominio de la función (en este caso $\mathbb{R}$) en intervalos donde el signo de la derivada es constante.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos: $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$, $(-2, 3)$ y $(3, +\infty)$. Podemos usar una tabla de signos evaluando un valor de prueba en cada intervalo dentro de $f'(x) = (x+2)(x+3)(x-3)$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -2) & -2 & (-2, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ Justificación de los signos: - Para $x = -4$: $f'(-4) = (-2)(16-9) = -14 \lt 0$. - Para $x = -2.5$: $f'(-2.5) = (-0.5)(6.25-9) = 1.375 \gt 0$. - Para $x = 0$: $f'(0) = (2)(-9) = -18 \lt 0$. - Para $x = 4$: $f'(4) = (6)(16-9) = 42 \gt 0$. **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - Crecimiento: $\boxed{(-3, -2) \cup (3, +\infty)}$ - Decrecimiento: $\boxed{(-\infty, -3) \cup (-2, 3)}$

Aplicamos el criterio de la primera derivada para identificar los extremos relativos basándonos en el cambio de signo de $f'(x)$: 1. En **$x = -3$**: La función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. 2. En **$x = -2$**: La función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. 3. En **$x = 3$**: La función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. *(Nota: Para dar las coordenadas completas $(x, y)$, necesitaremos la expresión de $f(x)$ que obtendremos en el apartado b))* Las coordenadas de los extremos son: - Mínimo relativo: $\boxed{(-3, 319/20)}$ - Máximo relativo: $\boxed{(-2, 253/15)}$ - Mínimo relativo: $\boxed{(3, -1121/20)}$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(a)=0$ y $f'$ cambia de $-$ a $+$, hay un mínimo. Si cambia de $+$ a $-$, hay un máximo.

**b) Determine la función $f$ sabiendo que $f(0) = \frac{1}{5}$. (1 punto)** Para hallar $f(x)$, debemos integrar su derivada $f'(x)$. Primero expandimos la expresión de la derivada: $$f'(x) = (x+2)(x^2-9) = x^3 - 9x + 2x^2 - 18 = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$$ Ahora calculamos la integral indefinida: $$f(x) = \int (x^3 + 2x^2 - 9x - 18) \, dx$$ Utilizando la regla de integración para potencias $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: $$f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{9x^2}{2} - 18x + C$$ Donde $C$ es la constante de integración.

Usamos el dato $f(0) = \frac{1}{5}$ para encontrar el valor de $C$: $$f(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} - \frac{9 \cdot 0^2}{2} - 18 \cdot 0 + C = \frac{1}{5}$$ $$C = \frac{1}{5}$$ Sustituimos $C$ en la expresión general para obtener la función buscada: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{9}{2}x^2 - 18x + \frac{1}{5}}$$

A continuación, se muestra la gráfica de la función $f(x)$ donde se pueden apreciar los intervalos de monotonía y los extremos calculados.