Optimización del volumen de un prisma de base cuadrada

Para resolver este problema de optimización, primero debemos identificar las variables que definen el prisma recto de base cuadrada: - Sea $x$ la longitud del lado de la **base cuadrada** (en cm). - Sea $h$ la **altura** del prisma (en cm). El enunciado nos dice que el perímetro de una **cara lateral** es de 60 cm. Una cara lateral de este prisma es un rectángulo cuyos lados son $x$ (la base) y $h$ (la altura). Por tanto, su perímetro es: $$2x + 2h = 60$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo entre 2: $$x + h = 30 \implies h = 30 - x$$ Como las dimensiones deben ser positivas, tenemos la restricción $x > 0$ y $h > 0$. De $30 - x > 0$ deducimos que $x < 30$. Por tanto, el dominio de estudio es $x \in (0, 30)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, siempre es útil expresar todas las variables en función de una sola antes de derivar.

El objetivo es maximizar el **volumen** ($V$) del prisma. La fórmula del volumen para un prisma recto de base cuadrada es: $$V = \text{Área de la base} \cdot \text{Altura} = x^2 \cdot h$$ Sustituimos la relación hallada anteriormente ($h = 30 - x$) para obtener una función que dependa únicamente de $x$: $$V(x) = x^2 (30 - x)$$ $$V(x) = 30x^2 - x^3$$ Esta es la función que debemos derivar para encontrar el valor de $x$ que maximiza el volumen.

Para hallar los puntos críticos, calculamos la primera derivada de $V(x)$ e igualamos a cero: $$V'(x) = \frac{d}{dx}(30x^2 - x^3) = 60x - 3x^2$$ Igualamos a cero: $$60x - 3x^2 = 0 \implies 3x(20 - x) = 0$$ Las soluciones son: 1. $x = 0$ (No válida, ya que no habría prisma). 2. $x = 20$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son candidatos a máximos o mínimos relativos. Debemos comprobar cuál de ellos cumple la condición de máximo.

Utilizamos el criterio de la **segunda derivada** para comprobar si en $x = 20$ hay un máximo: $$V''(x) = 60 - 6x$$ Evaluamos en $x = 20$: $$V''(20) = 60 - 6(20) = 60 - 120 = -60$$ Como $V''(20) < 0$, confirmamos que existe un **máximo relativo** en $x = 20$. También podemos observar el crecimiento mediante una tabla de signos de $V'(x)$ en el dominio $(0, 30)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,20) & 20 & (20,30) \\ \hline V'(x) & + & 0 & - \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $x=20$ y decrece después, el máximo es absoluto en el intervalo de interés.

Una vez hallado el valor de $x$ que maximiza el volumen, calculamos la altura $h$ correspondiente utilizando la relación $h = 30 - x$: $$x = 20 \text{ cm}$$ $$h = 30 - 20 = 10 \text{ cm}$$ Las dimensiones del prisma para que su volumen sea máximo son un lado de la base de $20$ cm y una altura de $10$ cm. El volumen máximo sería: $$V(20) = 20^2 \cdot 10 = 400 \cdot 10 = 4000 \text{ cm}^3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Lado de la base } x = 20 \text{ cm}, \text{ Altura } h = 10 \text{ cm}}$$