Punto simétrico respecto a un plano

Para que la recta que pasa por $O$ y $O'$ sea perpendicular al plano $\pi$, su vector director debe ser proporcional al vector normal del plano. Dada la ecuación del plano $\pi: x + y + z - 3 = 0$, identificamos su vector normal: $$\vec{n}_{\pi} = (1, 1, 1)$$ Definimos la recta $r$ que pasa por $O(0,0,0)$ y tiene la dirección de $\vec{n}_{\pi}$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 0 + \lambda \\ y = 0 + \lambda \\ z = 0 + \lambda \end{cases} \implies r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Como $O'$ debe estar en esta recta para que la recta $OO'$ sea perpendicular al plano, buscamos un punto de la forma $O'(\lambda, \lambda, \lambda)$. 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $\vec{n} = (A, B, C)$.

El punto $M$ (punto medio o proyección ortogonal) es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta en la ecuación del plano: $$(\lambda) + (\lambda) + (\lambda) = 3$$ $$3\lambda = 3 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en las ecuaciones de la recta, obtenemos el punto $M$: $$M(1, 1, 1)$$ Este punto $M$ es el **punto medio** entre $O$ y el punto buscado $O'$, ya que para que las distancias $d(O, \pi)$ y $d(O', \pi)$ coincidan y ambos puntos estén en la misma perpendicular, $O'$ debe ser el simétrico de $O$ respecto al plano. 💡 **Tip:** No usamos la fórmula de la distancia directamente porque el enunciado impone que la recta sea perpendicular, lo que nos dirige hacia la construcción del punto simétrico.

Como $M$ es el punto medio del segmento $OO'$, se cumple la relación vectorial: $$M = \frac{O + O'}{2} \implies (1, 1, 1) = \frac{(0, 0, 0) + (x', y', z')}{2}$$ Resolvemos para cada coordenada: 1. $1 = \frac{0 + x'}{2} \implies x' = 2$ 2. $1 = \frac{0 + y'}{2} \implies y' = 2$ 3. $1 = \frac{0 + z'}{2} \implies z' = 2$ Por tanto, el punto buscado es: $$\boxed{O'(2, 2, 2)}$$ **Justificación de las distancias:** Al ser $M$ la proyección de $O$ sobre el plano y $M$ el punto medio de $OO'$, la distancia $d(O, \pi)$ es el módulo del vector $\vec{OM}$ y la distancia $d(O', \pi)$ es el módulo del vector $\vec{O'M}$. Como $M$ es el punto medio, ambos módulos son iguales: $$d(O, \pi) = |\vec{OM}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$$ $$d(O', \pi) = |\vec{O'M}| = \sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{O'(2, 2, 2)}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano se halla siempre calculando primero la proyección $M$ y aplicando $P' = 2M - P$.