Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) Calcule, si es posible, la matriz inversa de la matriz $A$. (1 punto)** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$. Al ser una matriz triangular superior (todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero), el determinante es simplemente el producto de los elementos de su diagonal: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$$ Como $|A| = 2 \neq 0$, la matriz $A$ es regular y **existe su matriz inversa $A^{-1}$**. 💡 **Tip:** Si no recuerdas la propiedad de las matrices triangulares, puedes aplicar la regla de Sarrus, obteniendo el mismo resultado: $(2 \cdot 1 \cdot 1 + 0 + 0) - (0 + 0 + 0) = 2$.

Utilizaremos la fórmula $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$. El primer paso es hallar la matriz transpuesta $A^t$, intercambiando filas por columnas: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos ahora los adjuntos de los elementos de $A^t$: $A^t_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1$; \quad $A^t_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1$; \quad $A^t_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 3$ $A^t_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$; \quad $A^t_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2$; \quad $A^t_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -4$ $A^t_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$; \quad $A^t_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$; \quad $A^t_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$ Por tanto, la matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el signo del adjunto sigue la regla $(-1)^{i+j}$, creando un patrón en damero: $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$.

Aplicamos la fórmula final dividiendo cada elemento por $|A| = 2$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final (Apartado a):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & 1.5 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Resuelva, si es posible, la ecuación matricial $X \cdot A = B$. (1.5 puntos)** Para despejar la matriz $X$ en la ecuación $X \cdot A = B$, debemos multiplicar por la derecha por la inversa de $A$, ya que el producto de matrices no es conmutativo: $$X \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1}$$ $$X \cdot I = B \cdot A^{-1}$$ $$X = B \cdot A^{-1}$$ Como ya hemos calculado $A^{-1}$ en el apartado anterior y sabemos que existe, la solución es posible. 💡 **Tip:** Es fundamental multiplicar por el mismo lado en ambos miembros. Como la matriz $A$ está a la derecha de $X$, su inversa debe aparecer a la derecha de $B$.

Calculamos $X$ realizando el producto $B \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Fila 1: $x_{11} = 1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = \frac{1}{2}$ $x_{12} = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$ $x_{13} = 1 \cdot \frac{3}{2} + (-1) \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$ - Fila 2: $x_{21} = 2 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$ $x_{22} = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = -1$ $x_{23} = 2 \cdot \frac{3}{2} + 0 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 3 + 3 = 6$ ✅ **Resultado final (Apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/2 & -3/2 & 7/2 \\ 1 & -1 & 6 \end{pmatrix}}$$