Recta tangente y cálculo de área entre curva y recta

**a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen. (0.75 puntos)** Sea $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$. El origen de coordenadas es el punto $(0, 0)$. Para hallar la recta tangente, necesitamos el valor de la función en el punto (que ya sabemos que es $f(0)=0$) y el valor de su derivada en dicho punto para obtener la pendiente $m$. 1. Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$ 2. Evaluamos la derivada en $x = 0$ para hallar la pendiente $m$: $$m = f'(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$$ 3. Aplicamos la fórmula de la recta tangente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$ viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x - a)$, donde $f'(a)$ representa la pendiente de la curva en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x}$$

**b) Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada. (0.5 puntos)** Para dibujar el recinto, primero buscamos los puntos de corte entre la curva $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ y la recta $y = x$: $$x^3 - 2x^2 + x = x \implies x^3 - 2x^2 = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x^2(x - 2) = 0$$ Los puntos de corte se producen en **$x = 0$** (punto de tangencia) y **$x = 2$**. Analizamos la posición relativa en el intervalo $(0, 2)$. Si tomamos $x = 1$: - Curva: $f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 0$ - Recta: $y = 1$ Como $1 \gt 0$, la recta está por encima de la curva en este intervalo. 💡 **Tip:** Al resolver $x^2(x-2)=0$, la raíz doble en $x=0$ confirma que en ese punto la recta es tangente (no atraviesa la curva de forma simple), mientras que en $x=2$ hay un corte simple.

**c) Calcule el área de ese recinto. (1.25 puntos)** El área $A$ del recinto limitado por la recta superior ($y = x$) y la curva inferior ($y = x^3 - 2x^2 + x$) entre los puntos de corte $x=0$ y $x=2$ se calcula mediante la integral definida: $$A = \int_{0}^{2} [x - (x^3 - 2x^2 + x)] \, dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$A = \int_{0}^{2} (x - x^3 + 2x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{2} (-x^3 + 2x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^3 + 2x^2) \, dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2}$$ $$A = \left( -\frac{2^4}{4} + \frac{2(2^3)}{3} \right) - \left( -\frac{0^4}{4} + \frac{2(0^3)}{3} \right)$$ $$A = \left( -\frac{16}{4} + \frac{16}{3} \right) - 0 = -4 + \frac{16}{3}$$ Para operar, ponemos común denominador: $$A = \frac{-12 + 16}{3} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si al calcular la integral obtienes un valor negativo, es posible que hayas intercambiado el orden de las funciones (la superior por la inferior). ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{4}{3} \text{ u}^2}$$