Continuidad y derivabilidad de una función exponencial a trozos

**a) Calcule $m$ para que la función sea continua en $x = 0$. (1.25 puntos)** Para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 0$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la imagen de la función en el punto: $f(0)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a 0: $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Según el enunciado, la imagen en el punto es: $$f(0) = 4$$ Planteamos el límite cuando $x$ tiende a 0 utilizando la rama de la función para $x \neq 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{m(e^x - 1)}{x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función definida a trozos sea continua, el valor al que se aproximan las ramas debe ser igual al valor definido en el punto.

Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0} \frac{m(e^x - 1)}{x} = \frac{m(e^0 - 1)}{0} = \frac{m(1 - 1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{m(e^x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[m(e^x - 1)]}{\frac{d}{dx}[x]} = \lim_{x \to 0} \frac{m \cdot e^x}{1}$$ Ahora evaluamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} m e^x = m \cdot e^0 = m \cdot 1 = m$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si el límite original es una indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$.

Para que la función sea continua en $x=0$, igualamos el valor del límite obtenido al valor de la función en dicho punto: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \implies m = 4$$ Por lo tanto, la función debe ser: $$f(x) = \begin{cases} 4 & \text{si } x = 0 \\ \frac{4(e^x - 1)}{x} & \text{si } x \neq 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (valor de m):** $$\boxed{m = 4}$$

**b) Para el valor de $m$ calculado estudie, usando la definición de derivada, si la función $f$ es derivable en $x = 0$. (1.25 puntos)** Sustituimos $m = 4$. Para estudiar la derivabilidad en $x = 0$ mediante la definición, debemos calcular el siguiente límite y comprobar si es finito: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$$ Sustituimos los valores de nuestra función: $$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4(e^x - 1)}{x} - 4}{x}$$ Para simplificar la expresión, operamos el numerador poniendo común denominador: $$\frac{\frac{4(e^x - 1) - 4x}{x}}{x} = \frac{4e^x - 4 - 4x}{x^2}$$ El límite queda como: $$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{4e^x - 4x - 4}{x^2}$$ 💡 **Tip:** La derivada en un punto $a$ es el límite del cociente incremental. Si este límite existe y es un número real, la función es derivable en ese punto.

Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{4e^x - 4x - 4}{x^2} = \frac{4e^0 - 4(0) - 4}{0^2} = \frac{4 - 0 - 4}{0} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital** (primera vez): $$\lim_{x \to 0} \frac{4e^x - 4}{2x} = \frac{4e^0 - 4}{2(0)} = \frac{0}{0}$$ Volvemos a aplicar la **regla de L'Hôpital** (segunda vez): $$\lim_{x \to 0} \frac{4e^x}{2} = \frac{4e^0}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Como el límite existe y es finito, la función es derivable en $x=0$ y su derivada vale $f'(0)=2$. ✅ **Resultado (derivabilidad):** $$\boxed{\text{La función es derivable en } x = 0 \text{ y } f'(0) = 2}$$