Puntos coplanarios y distancia al origen

**a) Determine el valor de $k$ para que los puntos $A(0,2,1)$, $B(1,-2,0)$, $C(2,0,3)$ y $D(1,1,k)$ se encuentren en el mismo plano. (1 punto)** Para que cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ sean coplanarios (estén en el mismo plano), los vectores formados a partir de ellos deben ser linealmente dependientes. Esto significa que el determinante formado por los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ debe ser igual a cero. Calculamos primero los componentes de dichos vectores: $$\vec{AB} = B - A = (1-0, -2-2, 0-1) = (1, -4, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2-0, 0-2, 3-1) = (2, -2, 2)$$ $$\vec{AD} = D - A = (1-0, 1-2, k-1) = (1, -1, k-1)$$ 💡 **Tip:** Cuatro puntos son coplanarios si el volumen del paralelepípedo que definen es cero, lo que equivale a que su producto mixto sea nulo.

Planteamos el determinante de los vectores y lo igualamos a cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -4 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & k-1 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$[1 \cdot (-2) \cdot (k-1) + (-4) \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot (-1)] - [(-1) \cdot (-2) \cdot 1 + (-4) \cdot 2 \cdot (k-1) + 1 \cdot 2 \cdot (-1)] = 0$$ $$[-2(k-1) - 8 + 2] - [2 - 8(k-1) - 2] = 0$$ $$[-2k + 2 - 6] - [-8k + 8] = 0$$ $$-2k - 4 + 8k - 8 = 0$$ $$6k - 12 = 0$$ $$6k = 12 \implies k = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 2}$$

**b) Halle la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por los puntos $A, B$ y $C$. (1.5 puntos)** Para hallar la distancia de un punto a un plano, primero necesitamos obtener la ecuación implícita (general) del plano $\pi$ que pasa por $A, B$ y $C$. El vector normal al plano $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores directores del plano, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos $\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{n_\pi} = [(-4) \cdot 2 - (-1) \cdot (-2)]\vec{i} - [1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2]\vec{j} + [1 \cdot (-2) - (-4) \cdot 2]\vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (-8 - 2)\vec{i} - (2 + 2)\vec{j} + (-2 + 8)\vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = -10\vec{i} - 4\vec{j} + 6\vec{k} = (-10, -4, 6)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre $-2$ para trabajar con números más sencillos: $$\vec{n} = (5, 2, -3)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es $(A, B, C)$.

La ecuación del plano tiene la forma $5x + 2y - 3z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos uno de los puntos, por ejemplo $A(0, 2, 1)$: $$5(0) + 2(2) - 3(1) + D = 0$$ $$0 + 4 - 3 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\pi: 5x + 2y - 3z - 1 = 0$$

La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, el punto es el origen $O(0, 0, 0)$ y el plano es $5x + 2y - 3z - 1 = 0$: $$d(O, \pi) = \frac{|5(0) + 2(0) - 3(0) - 1|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-3)^2}}$$ $$d(O, \pi) = \frac{|-1|}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{38}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(O, \pi) = \frac{\sqrt{38}}{38} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(O, \pi) = \frac{1}{\sqrt{38}} \approx 0.162 \text{ u}}$$