Estudio de una matriz: antisimetría, rango y determinantes

**a) Halle los valores de $a, b, c, x$, para los cuales $A$ es antisimétrica. (Recuerde que la matriz $A$ es antisimétrica si $A^t = -A$). (0.75 puntos)** Una matriz es antisimétrica si su traspuesta es igual a su opuesta ($A^t = -A$). Primero calculamos $A^t$ (intercambiando filas por columnas) y $-A$ (cambiando el signo a todos los elementos): $$A^t = \begin{pmatrix} x & a & b \\ b & x & c \\ c-4 & 3 & x \end{pmatrix}, \quad -A = \begin{pmatrix} -x & -b & -(c-4) \\ -a & -x & -3 \\ -b & -c & -x \end{pmatrix}$$ Igualamos elemento a elemento: 1. Diagonal principal: $x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. 2. Elemento (1,2) y (2,1): $a = -b$ y $b = -a$ (es la misma condición). 3. Elemento (2,3) y (3,2): $c = -3$ y $3 = -c \implies c = -3$. 4. Elemento (1,3) y (3,1): $b = -(c-4) = 4-c$ y $c-4 = -b$. Sustituimos $c = -3$ en la condición del paso 4: $$b = 4 - (-3) = 7$$ Y como $a = -b$, entonces: $$a = -7$$ 💡 **Tip:** En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal siempre deben ser cero, y los elementos simétricos respecto a la diagonal deben ser opuestos ($a_{ij} = -a_{ji}$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0, \, a = -7, \, b = 7, \, c = -3}$$

**b) Si $a = b = c = 1$, halle el rango de $A$ según los valores de $x$. (1 punto)** Sustituimos los valores dados en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1-4 \\ 1 & x & 3 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 1 & -3 \\ 1 & x & 3 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} x & 1 & -3 \\ 1 & x & 3 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix} = (x \cdot x \cdot x) + (1 \cdot 3 \cdot 1) + (-3 \cdot 1 \cdot 1) - [(-3 \cdot x \cdot 1) + (3 \cdot 1 \cdot x) + (1 \cdot 1 \cdot x)]$$ $$|A| = x^3 + 3 - 3 - [-3x + 3x + x] = x^3 - x$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$x^3 - x = 0 \implies x(x^2 - 1) = 0 \implies x(x-1)(x+1) = 0$$ Los valores que anulan el determinante son **$x = 0$**, **$x = 1$** y **$x = -1$**.

Analizamos el rango según el valor de $x$: * **Si $x \neq 0, x \neq 1$ y $x \neq -1$:** El determinante $|A| \neq 0$, por lo que el rango es máximo. $$\text{rango}(A) = 3$$ * **Si $x = 0$:** $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$. Por tanto, **rango(A) = 2**. * **Si $x = 1$:** $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Las dos primeras columnas son iguales, $|A|=0$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0$. Por tanto, **rango(A) = 2**. * **Si $x = -1$:** $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. La primera y segunda fila son proporcionales ($F_1 = -F_2$), $|A|=0$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 3 = -4 \neq 0$. Por tanto, **rango(A) = 2**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que se pueda extraer de ella. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\}, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } x \in \{0, 1, -1\}, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**c) Si $a = b = c = 0$, resuelva la ecuación $|A + A^t| = 0$. (0.75 puntos)** Si $a=b=c=0$, la matriz $A$ y su traspuesta $A^t$ son: $$A = \begin{pmatrix} x & 0 & -4 \\ 0 & x & 3 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix}, \quad A^t = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ -4 & 3 & x \end{pmatrix}$$ Calculamos la suma $M = A + A^t$: $$M = \begin{pmatrix} x+x & 0+0 & -4+0 \\ 0+0 & x+x & 3+0 \\ 0-4 & 0+3 & x+x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 0 & -4 \\ 0 & 2x & 3 \\ -4 & 3 & 2x \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el determinante de $M$ (desarrollando por Sarrus): $$|M| = (2x \cdot 2x \cdot 2x) + 0 + 0 - [(-4 \cdot 2x \cdot -4) + (3 \cdot 3 \cdot 2x) + 0]$$ $$|M| = 8x^3 - [32x + 18x] = 8x^3 - 50x$$ Resolvemos la ecuación $|M| = 0$: $$8x^3 - 50x = 0 \implies 2x(4x^2 - 25) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $4x^2 - 25 = 0 \implies x^2 = \frac{25}{4} \implies x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \implies x_2 = \frac{5}{2}, \, x_3 = -\frac{5}{2}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0, \, x = \frac{5}{2}, \, x = -\frac{5}{2}}$$