Área delimitada por curvas exponenciales

**a) Dibuje un esquema del recinto. (1 punto)** Para representar el recinto, debemos analizar las tres fronteras dadas: 1. $f(x) = e^x$: Función exponencial creciente que pasa por $(0,1)$ y $(1, e)$. 2. $g(x) = e^{-x}$: Función exponencial decreciente que pasa por $(0,1)$ y $(1, 1/e)$. 3. $x = 1$: Recta vertical que limita el recinto por la derecha. Observamos que las curvas $e^x$ y $e^{-x}$ se cortan en el punto donde $e^x = e^{-x}$. Esto ocurre cuando el exponente es el mismo, es decir, $x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. Por tanto, el punto de intersección es $(0, 1)$. El recinto queda delimitado entre $x=0$ (intersección) y $x=1$ (recta dada). 💡 **Tip:** Recuerda que $e \approx 2,718$ y $1/e \approx 0,368$. Esto te ayuda a situar los puntos clave en el eje $Y$.

**b) Calcule su área. (1.5 puntos)** El área de un recinto limitado por dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ entre dos valores $a$ y $b$ se calcula mediante la integral definida: $$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$ En nuestro caso: - Los límites de integración son $x=0$ (punto de corte) y $x=1$ (recta vertical). - En el intervalo $[0, 1]$, la función $f(x) = e^x$ está siempre por encima de $g(x) = e^{-x}$ (ya que $e^x \gt 1$ y $e^{-x} \lt 1$ para $x \gt 0$). Por tanto, la integral a resolver es: $$A = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \, dx$$ 💡 **Tip:** Para saber qué función va arriba, puedes evaluar un punto intermedio. Por ejemplo, en $x=0,5$: $e^{0,5} \approx 1,65$ y $e^{-0,5} \approx 0,60$. Claramente $e^x \gt e^{-x}$.

Calculamos la integral indefinida primero: $$\int (e^x - e^{-x}) \, dx = \int e^x \, dx - \int e^{-x} \, dx$$ Sabemos que: - $\int e^x \, dx = e^x$ - $\int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$ (usando la regla de la cadena o sustitución simple $u = -x$) Entonces la primitiva es: $$F(x) = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $1$: $$A = [e^x + e^{-x}]_0^1$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos negativos al integrar funciones compuestas como $e^{-x}$.

Sustituimos los límites superior e inferior: $$A = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^0)$$ Como $e^0 = 1$: $$A = e + \frac{1}{e} - (1 + 1)$$ $$A = e + \frac{1}{e} - 2$$ Si queremos dar una aproximación decimal: $$A \approx 2,7182 + 0,3678 - 2 = 1,0860 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = e + \frac{1}{e} - 2 \text{ unidades}^2}$$