Cálculo de límite con indeterminación infinito menos infinito

**Calcule $\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{\ln x} \right)$. (2.5 puntos)** Primero evaluamos el límite directamente sustituyendo $x=1$: $$\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{\ln x} \right) = \frac{1}{1-1} - \frac{1}{\ln 1} = \frac{1}{0} - \frac{1}{0} = \infty - \infty$$ Nos encontramos ante una indeterminación del tipo $\infty - \infty$. Para resolverla, debemos realizar la operación de resta para obtener una única fracción y poder aplicar la Regla de L'Hôpital si es necesario. 💡 **Tip:** Cuando tengas una resta de fracciones que produce $\infty - \infty$, el primer paso suele ser sacar común denominador para transformar la expresión en un cociente $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Operamos la expresión para obtener una sola fracción buscando el común denominador, que es $(x-1)\ln x$: $$\lim_{x \to 1} \left( \frac{\ln x - (x-1)}{(x-1)\ln x} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x - x + 1}{(x-1)\ln x}$$ Si evaluamos ahora en $x=1$: $$\frac{\ln 1 - 1 + 1}{(1-1)\ln 1} = \frac{0 - 1 + 1}{0 \cdot 0} = \frac{0}{0}$$ Ahora tenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(\ln x - x + 1)' = \frac{1}{x} - 1$ - Derivada del denominador (usando la regla del producto): $((x-1)\ln x)' = 1 \cdot \ln x + (x-1) \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 - \frac{1}{x}$ El límite queda: $$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x - x + 1}{(x-1)\ln x} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\ln x + 1 - \frac{1}{x}}$$ Evaluamos de nuevo en $x=1$: $$\frac{\frac{1}{1} - 1}{\ln 1 + 1 - \frac{1}{1}} = \frac{1-1}{0+1-1} = \frac{0}{0}$$ Persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista.

Derivamos nuevamente numerador y denominador: - Derivada del nuevo numerador: $\left( \frac{1}{x} - 1 \right)' = \left( x^{-1} - 1 \right)' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ - Derivada del nuevo denominador: $\left( \ln x + 1 - \frac{1}{x} \right)' = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$$ Sustituimos $x=1$: $$\frac{-\frac{1}{1^2}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1^2}} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$$ Por tanto, el valor del límite es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-\frac{1}{2}}$$