Posición relativa de planos y construcción de recta paralela

**a) Estudie la posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$. (1.25 puntos)** Para estudiar la posición relativa de dos planos, el primer paso es identificar sus vectores normales a partir de sus ecuaciones generales. Para $\pi_1 : 2x - y + z = 0$: $$\vec{n}_1 = (2, -1, 1)$$ Para $\pi_2 : 0x + 0y + z - 3 = 0$: $$\vec{n}_2 = (0, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Los coeficientes de $x, y, z$ en la ecuación implícita del plano $Ax + By + Cz + D = 0$ corresponden a las componentes del vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$.

Dos planos son paralelos (o coincidentes) si sus vectores normales son proporcionales. Comprobamos si existe una constante $k$ tal que $\vec{n}_1 = k \cdot \vec{n}_2$: $$\frac{2}{0} \neq \frac{-1}{0} \neq \frac{1}{1}$$ Claramente, los componentes no mantienen una proporción (existen componentes nulas en uno pero no en el otro). Al no ser proporcionales, los vectores normales tienen distintas direcciones. Por tanto, los planos **no son paralelos**. Esto implica que los planos son **secantes**, es decir, se cortan formando una recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los planos } \pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ son secantes.}}$$

**b) Encuentre, si es posible, una recta paralela a $\pi_1$ y a $\pi_2$ que pase por el punto $(2,2,-1)$. (1.25 puntos)** Si una recta $r$ es paralela a dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos simultáneamente. Para hallar un vector perpendicular a dos vectores dados, utilizamos el **producto vectorial**: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los normales de dos planos secantes genera el vector director de la recta de intersección. Cualquier recta paralela a ambos planos tendrá esa misma dirección.

Calculamos el determinante para obtener $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila (que tiene más ceros): $$\vec{v}_r = 0 \cdot \begin{vmatrix} \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{k} \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = 1 \cdot ((-1)\vec{i} - 2\vec{j}) = (-1, -2, 0)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar el vector con signo opuesto: $$\vec{v}_r = (1, 2, 0)$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 2, 0)}$$

Ya tenemos el punto $P(2, 2, -1)$ y el vector director $\vec{v}_r = (1, 2, 0)$. Escribimos la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = -1 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ O en forma continua (teniendo en cuenta que la componente $z$ es constante): $$\frac{x-2}{1} = \frac{y-2}{2} ; \quad z = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: (x,y,z) = (2,2,-1) + \lambda(1,2,0)}$$