Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de $a$. (1 punto)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ a & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (a \cdot 1 \cdot 1) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot a) ]$$ $$|A| = (2 + 0 + a) - (1 + 0 + 2a) = 2 + a - 1 - 2a = 1 - a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es Compatible Determinado si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la ampliada y al número de incógnitas ($rg(A) = rg(A^*) = n$).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$1 - a = 0 \implies a = 1$$ Analizamos los casos según el Teorema de Rouché-Frobenius: **Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de $A$ es 3. Como el rango máximo de la matriz ampliada $A^*$ también es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = n$$ ✅ **Resultado:** Si $a \neq 1$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene solución única. **Caso 2: $a = 1$** Si $a = 1$, el determinante $|A| = 0$. Veamos el rango de $A$ y $A^*$ sustituyendo $a = 1$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ En $A$, buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ comprobando si el determinante de orden 3 que incluye a la columna de términos constantes es cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (0 + 1 + 4) - (0 + 2 + 3) = 5 - 5 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $rg(A^*) = 2$.

Aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius** para el caso $a = 1$: $$rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3 \text{ (nº incógnitas)}$$ Como los rangos son iguales pero menores al número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 1: \text{Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = 1: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. (1.5 puntos)** El sistema es compatible indeterminado cuando **$a = 1$**. En este caso, el rango es 2, lo que significa que una ecuación es redundante. Podemos prescindir de la tercera ecuación y quedarnos con un sistema de dos ecuaciones: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, utilizaremos un parámetro. Sea **$x = \lambda$** (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): 1. De la segunda ecuación: $\lambda + y = 1 \implies \mathbf{y = 1 - \lambda}$ 2. Sustituimos en la primera ecuación: $\lambda + (1 - \lambda) + z = 2$ $$1 + z = 2 \implies \mathbf{z = 1}$$ 💡 **Tip:** En un sistema indeterminado, el número de parámetros necesarios es igual a $n - rg(A)$. En este caso, $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final (Solución):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$