Geometría en el espacio: planos perpendiculares y puntos simétricos

**(a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$.** Para hallar la ecuación de un plano necesitamos un punto (que ya tenemos, $P(1,0,2)$) y un vector normal. Como el plano debe ser perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, servirá como vector normal del plano, $\vec{n}_{\pi}$. La recta viene dada por la intersección de dos planos. Obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (2, -1, 0), \quad \vec{n}_2 = (0, 1, 2)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(-1 \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = -2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$ Podemos simplificar el vector director (ya que solo nos importa la dirección) dividiendo por 2 (o -2): $$\vec{v}_r = (-2, -4, 2) \parallel (1, 2, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de planos es el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_{\pi} = (1, 2, -1)$ y el punto $P(1, 0, 2)$. La ecuación general del plano es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ Sustituimos los valores: $$1(x - 1) + 2(y - 0) - 1(z - 2) = 0$$ $$x - 1 + 2y - z + 2 = 0$$ $$x + 2y - z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\pi \equiv x + 2y - z + 1 = 0}$$

**(b) [1'5 puntos] Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$.** Para calcular el punto simétrico $P'$ respecto a una recta, seguiremos estos pasos: 1. Hallar el plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pasa por $P$ (calculado en el apartado anterior). 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ será el punto medio entre $P$ y $P'$. 3. Usar la fórmula del punto medio para despejar $P'$. Primero expresamos $r$ en paramétricas. Necesitamos un punto de la recta. Si hacemos $y = 0$ en las ecuaciones originales: $$2x - 0 - 4 = 0 \implies x = 2$$ $$0 + 2z - 8 = 0 \implies z = 4$$ El punto $A(2, 0, 4)$ pertenece a $r$. Usando el vector $\vec{v}_r = (1, 2, -1)$: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 4 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con hallar un punto cualquiera asignando un valor a una de las variables y usar el vector director hallado previamente.

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano $\pi$: $$(2 + \lambda) + 2(2\lambda) - (4 - \lambda) + 1 = 0$$ $$2 + \lambda + 4\lambda - 4 + \lambda + 1 = 0$$ $$6\lambda - 1 = 0 \implies \lambda = \frac{1}{6}$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto de intersección $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta: $$x_M = 2 + \frac{1}{6} = \frac{13}{6}$$ $$y_M = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$z_M = 4 - \frac{1}{6} = \frac{23}{6}$$ $$M\left(\frac{13}{6}, \frac{1}{3}, \frac{23}{6}\right)$$

Como $M$ es el punto medio entre $P(1, 0, 2)$ y $P'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies \left(\frac{13}{6}, \frac{1}{3}, \frac{23}{6}\right) = \left(\frac{1+x'}{2}, \frac{0+y'}{2}, \frac{2+z'}{2}\right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $\frac{1+x'}{2} = \frac{13}{6} \implies 1 + x' = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \implies x' = \frac{13}{3} - 1 = \frac{10}{3}$ 2. $\frac{y'}{2} = \frac{1}{3} \implies y' = \frac{2}{3}$ 3. $\frac{2+z'}{2} = \frac{23}{6} \implies 2 + z' = \frac{46}{6} = \frac{23}{3} \implies z' = \frac{23}{3} - 2 = \frac{17}{3}$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{P'\left(\frac{10}{3}, \frac{2}{3}, \frac{17}{3}\right)}$$