Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**(a) [1 punto] Clasifica el sistema según los valores del parámetro $k$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 2 & k & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & 1 \\ 2 & k & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & k \end{array}\right)$$ El número de incógnitas es $n = 3$ ($x, y, z$). Para clasificar el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, estudiaremos el rango de estas matrices en función del parámetro $k$ mediante el determinante de $A$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\ 2 & k & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot k \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot 0) + (k \cdot 2 \cdot 1) - [ (0 \cdot k \cdot k) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 1) ]$$ $$|A| = 2k + 0 + 2k - [0 + 0 + 4] = 4k - 4$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $k$: $$4k - 4 = 0 \implies 4k = 4 \implies k = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rango es máximo y el sistema es Compatible Determinado.

Analizamos los casos posibles para el parámetro $k$: * **Caso 1: $k \neq 1$** Si $k \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene solución única. * **Caso 2: $k = 1$** Si $k = 1$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Comprobamos si hay algún menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ sustituyendo $k=1$: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la columna 2, la columna 3 y la columna de términos independientes son iguales o proporcionales en varios menores. Si calculamos el determinante del menor formado por la col 1, col 2 y col 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1+2+0) - (0+1+2) = 3 - 3 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 en $A^*$ son nulos (ya que las columnas 2, 3 y 4 son idénticas al sustituir $k=1$), tenemos $\text{rg}(A^*) = 2$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt n = 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} k \neq 1: \text{Sistema Compatible Determinado} \\ k = 1: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**(b) [0'75 puntos] Resuélvelo para $k = 1$.** Como hemos visto, para $k=1$ el sistema es Compatible Indeterminado con $\text{rg}(A)=2$. El sistema queda: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y = 1 \\ y + 2z = 1 \end{cases}$$ Podemos prescindir de una ecuación (por ejemplo, la tercera, que es combinación lineal de las otras) y usar un parámetro. Tomamos $x = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $2\lambda + y = 1 \implies y = 1 - 2\lambda$. 2. Sustituimos en la primera: $\lambda + (1 - 2\lambda) + z = 1 \implies 1 - \lambda + z = 1 \implies z = \lambda$. 💡 **Tip:** Para resolver un SCI, utiliza tantas incógnitas como parámetros como indique la diferencia $n - \text{rg}(A)$. Aquí, $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \lambda, \quad y = 1 - 2\lambda, \quad z = \lambda \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**(c) [0'75 puntos] Resuélvelo para $k = -1$.** Para $k = -1$, el sistema es Compatible Determinado ($|A| = 4(-1)-4 = -8$). El sistema es: $$\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y = 1 \\ y + 2z = -1 \end{cases}$$ Resolvemos por la regla de Cramer: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-8} = \frac{(-2 + 0 - 1) - (1 + 0 + 2)}{-8} = \frac{-3 - 1}{-8} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}}{-8} = \frac{(2 + 0 + 2) - (0 + 0 + 4)}{-8} = \frac{4 - 4}{-8} = 0$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}}{-8} = \frac{(1 + 0 + 2) - (0 + 1 - 2)}{-8} = \frac{3 - (-1)}{-8} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** En sistemas $3 \times 3$ SCD, Cramer es un método directo y sistemático que reduce errores si los cálculos del determinante son precisos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{1}{2}, \quad y = 0, \quad z = -\frac{1}{2}}$$