Área encerrada entre una parábola y una función raíz

**(a) [0'75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Realiza un esbozo del recinto que limitan.** Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones $f(x) = g(x)$ dentro del dominio común $[0, +\infty)$: $$\frac{x^2}{4} = 2\sqrt{x}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = (2\sqrt{x})^2 \implies \frac{x^4}{16} = 4x$$ Multiplicamos por $16$ y llevamos todo a un miembro para resolver la ecuación polinómica: $$x^4 = 64x \implies x^4 - 64x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^3 - 64) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $x = 0$ 2. $x^3 - 64 = 0 \implies x^3 = 64 \implies x = \sqrt[3]{64} = 4$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones: - Si $x=0$, $y=f(0)=0$. Punto: $(0,0)$. - Si $x=4$, $y=f(4)=\frac{4^2}{4}=4$. Punto: $(4,4)$. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0,0) \text{ y } (4,4)}$$

Para realizar el esbozo, debemos tener en cuenta que: - $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ es una parábola con vértice en $(0,0)$ que abre hacia arriba. - $g(x) = 2\sqrt{x}$ es la rama positiva de una parábola horizontal, definida para $x \ge 0$. En el intervalo $(0,4)$, comprobamos qué función queda por encima evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x=1$: - $f(1) = \frac{1}{4} = 0.25$ - $g(1) = 2\sqrt{1} = 2$ Como $g(1) \gt f(1)$, la función $g(x)$ está por encima de $f(x)$ en el recinto. 💡 **Tip:** Siempre es útil evaluar un punto intermedio para determinar el orden de las funciones en la integral del área.

**(b) [1'75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.** El área del recinto limitado por las dos gráficas entre sus puntos de corte $x=0$ y $x=4$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior): $$A = \int_{0}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{4} \left( 2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4} \right) \, dx$$ Escribimos la raíz como potencia para facilitar la integración: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. $$A = \int_{0}^{4} \left( 2x^{1/2} - \frac{1}{4}x^2 \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de integración de potencias es $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Calculamos la primitiva de la expresión: $$\int \left( 2x^{1/2} - \frac{1}{4}x^2 \right) \, dx = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}$$ Expresamos $x^{3/2}$ como $x\sqrt{x}$ para operar más cómodamente: $$F(x) = \frac{4}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^3}{12}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 4]$: $$A = \left[ \frac{4}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$$ Sustituimos el límite superior e inferior: - Para $x = 4$: $F(4) = \frac{4}{3}(4\sqrt{4}) - \frac{4^3}{12} = \frac{4}{3}(8) - \frac{64}{12} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$ - Para $x = 0$: $F(0) = \frac{4}{3}(0) - \frac{0}{12} = 0$ Por lo tanto: $$A = \frac{16}{3} - 0 = \frac{16}{3} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ u}^2}$$