Optimización del área de un triángulo rectángulo

Llamamos $x$ e $y$ a las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo (en unidades). El área $A$ de un triángulo rectángulo viene dada por el semiproducto de sus catetos: $$A = \frac{x \cdot y}{2}$$ Como estamos tratando con longitudes de un triángulo, debemos considerar que tanto $x$ como $y$ deben ser mayores que cero ($x \gt 0, y \gt 0$).

El enunciado nos indica que la hipotenusa es fija y vale $10$ unidades. Aplicando el **Teorema de Pitágoras**: $$x^2 + y^2 = 10^2 \implies x^2 + y^2 = 100$$ Despejamos una de las variables, por ejemplo $y$, en función de $x$: $$y^2 = 100 - x^2 \implies y = \sqrt{100 - x^2}$$ 💡 **Tip:** Tomamos la raíz positiva porque $y$ representa una longitud. Además, para que la raíz exista y sea distinta de cero, se debe cumplir $0 \lt x \lt 10$.

Sustituimos la expresión de $y$ en la fórmula del área para obtener una función que dependa únicamente de $x$: $$A(x) = \frac{x \cdot \sqrt{100 - x^2}}{2}$$ Para facilitar la derivación, podemos introducir la $x$ dentro de la raíz: $$A(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x^2(100 - x^2)} = \frac{1}{2}\sqrt{100x^2 - x^4}$$ El dominio de esta función para nuestro problema es $D = (0, 10)$.

Calculamos $A'(x)$ para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{200x - 4x^3}{2\sqrt{100x^2 - x^4}} = \frac{100x - 2x^3}{2\sqrt{x^2(100 - x^2)}} = \frac{2x(50 - x^2)}{2x\sqrt{100 - x^2}}$$ Simplificando la $x$ (ya que $x \neq 0$): $$A'(x) = \frac{50 - x^2}{\sqrt{100 - x^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $x$ candidatos a máximo: $$A'(x) = 0 \implies 50 - x^2 = 0 \implies x^2 = 50$$ $$x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7,07$$ (Descartamos la solución negativa $x = -5\sqrt{2}$ por no tener sentido geométrico).

Estudiamos el signo de $A'(x)$ en el intervalo $(0, 10)$ para confirmar que se trata de un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 5\sqrt{2}) & 5\sqrt{2} & (5\sqrt{2}, 10)\\ \hline A'(x) & + & 0 & -\\ \hline A(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - Para $x=1 \in (0, 5\sqrt{2})$: $A'(1) = \frac{50-1}{\sqrt{99}} \gt 0$. - Para $x=8 \in (5\sqrt{2}, 10)$: $A'(8) = \frac{50-64}{\sqrt{36}} \lt 0$. Al ser la función continua y presentar un único máximo relativo en su dominio, este es el **máximo absoluto**. $$\boxed{x = 5\sqrt{2} \text{ unidades}}$$

Calculamos el valor del otro cateto $y$ cuando $x = 5\sqrt{2}$: $$y = \sqrt{100 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ Como $x=y$, se trata de un triángulo rectángulo **isósceles**. Las dimensiones del triángulo de área máxima son: - Cateto 1: **$5\sqrt{2}$ unidades** - Cateto 2: **$5\sqrt{2}$ unidades** - Hipotenusa: **$10$ unidades** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Catetos: } 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ u. , Hipotenusa: } 10 \text{ u.}}$$