Punto de una recta equidistante al origen y a otro punto

Para poder trabajar con un punto genérico de la recta $r$, primero debemos expresar su ecuación en forma paramétrica. Igualamos cada fracción a un parámetro $\lambda$: $$r \equiv \begin{cases} \frac{x+3}{2} = \lambda \\ \frac{y+5}{3} = \lambda \\ \frac{z+4}{3} = \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = -3 + 2\lambda \\ y = -5 + 3\lambda \\ z = -4 + 3\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tendrá la siguiente forma: $$P(-3 + 2\lambda, -5 + 3\lambda, -4 + 3\lambda)$$ 💡 **Tip:** Pasar a paramétricas permite reducir las tres incógnitas $(x, y, z)$ a una sola $(\lambda)$, facilitando la resolución de problemas de incidencia o distancias.

El enunciado nos dice que el punto $P$ equidista del origen $O(0, 0, 0)$ y del punto $A(3, 2, 1)$. Esto significa que la distancia de $P$ a $O$ debe ser igual a la distancia de $P$ a $A$: $$d(P, O) = d(P, A)$$ Para facilitar los cálculos y eliminar las raíces cuadradas de la fórmula de la distancia, elevamos ambos miembros al cuadrado: $$d(P, O)^2 = d(P, A)^2$$ Recordamos que la distancia entre dos puntos $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ al cuadrado es: $$(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$$ 💡 **Tip:** Trabajar con distancias al cuadrado es un truco estándar en geometría para evitar el manejo de raíces y simplificar la ecuación resultante.

Calculamos $d(P, O)^2$ usando las coordenadas de $P$ en función de $\lambda$ y $O(0, 0, 0)$: $$d(P, O)^2 = (-3 + 2\lambda - 0)^2 + (-5 + 3\lambda - 0)^2 + (-4 + 3\lambda - 0)^2$$ $$d(P, O)^2 = (-3 + 2\lambda)^2 + (-5 + 3\lambda)^2 + (-4 + 3\lambda)^2$$ $$d(P, O)^2 = (9 - 12\lambda + 4\lambda^2) + (25 - 30\lambda + 9\lambda^2) + (16 - 24\lambda + 9\lambda^2)$$ $$d(P, O)^2 = 22\lambda^2 - 66\lambda + 50$$ Ahora calculamos $d(P, A)^2$ usando $A(3, 2, 1)$: $$d(P, A)^2 = (-3 + 2\lambda - 3)^2 + (-5 + 3\lambda - 2)^2 + (-4 + 3\lambda - 1)^2$$ $$d(P, A)^2 = (2\lambda - 6)^2 + (3\lambda - 7)^2 + (3\lambda - 5)^2$$ $$d(P, A)^2 = (4\lambda^2 - 24\lambda + 36) + (9\lambda^2 - 42\lambda + 49) + (9\lambda^2 - 30\lambda + 25)$$ $$d(P, A)^2 = 22\lambda^2 - 96\lambda + 110$$

Igualamos ambas expresiones: $$22\lambda^2 - 66\lambda + 50 = 22\lambda^2 - 96\lambda + 110$$ Observamos que los términos en $\lambda^2$ se anulan, lo que nos deja una ecuación de primer grado: $$-66\lambda + 50 = -96\lambda + 110$$ $$-66\lambda + 96\lambda = 110 - 50$$ $$30\lambda = 60$$ $$\lambda = \frac{60}{30} = 2$$ $$\boxed{\lambda = 2}$$

Sustituimos el valor de $\lambda = 2$ en las ecuaciones paramétricas del punto $P$ halladas en el Paso 1: $$x = -3 + 2(2) = -3 + 4 = 1$$ $$y = -5 + 3(2) = -5 + 6 = 1$$ $$z = -4 + 3(2) = -4 + 6 = 2$$ Por lo tanto, el punto buscado es $P(1, 1, 2)$. Podemos verificar rápidamente: $d(P, O) = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ $d(P, A) = \sqrt{(1-3)^2 + (1-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(1, 1, 2)}$$