Sistema de ecuaciones lineales: Compra en papelería

**(a) [1'25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.** En primer lugar, definimos las variables que representan el precio de cada artículo: - $x$: Precio del libro en euros. - $y$: Precio de la calculadora en euros. - $z$: Precio del estuche en euros. A partir del enunciado, traducimos la información a ecuaciones algebraicas: 1. El total gastado es 57 euros: $x + y + z = 57$ 2. El libro cuesta el doble que la calculadora y el estuche juntos: $x = 2(y + z)$ Reordenamos la segunda ecuación para tener el sistema en forma estándar: $$\begin{cases} x + y + z = 57 \\ x - 2y - 2z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En problemas de planteamiento, es fundamental definir claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones.

Para responder si los precios se pueden determinar de forma única, analizamos el sistema mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**. La matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$ son: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}; \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 57 \\ 1 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $M$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(M) = 2$$ Como el rango de $M$ es 2 y solo hay 2 filas, el rango de la matriz ampliada $M^*$ también es 2. $$\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) = 2 < n^\circ \text{ incógnitas} (3)$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, lo que significa que tiene infinitas soluciones. 💡 **Tip:** Si el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema no tiene una solución única para todas sus variables de forma general.

Aunque el sistema sea indeterminado, vamos a intentar aislar las variables para ver si alguna de ellas toma un valor fijo. De la segunda ecuación: $y + z = \frac{x}{2}$. Sustituimos esto en la primera ecuación: $$x + (y + z) = 57 \implies x + \frac{x}{2} = 57$$ $$\frac{3x}{2} = 57 \implies 3x = 114 \implies x = 38$$ El precio del libro es **38 euros**, por lo que **sí se puede determinar de forma única**. Sin embargo, para la calculadora y el estuche tenemos: $$y + z = 57 - 38 = 19$$ Cualquier combinación de valores de $y$ y $z$ que sume 19 (y sean positivos) satisface las condiciones. Por ejemplo, si $y=10$, $z=9$; si $y=15$, $z=4$. Por tanto, el precio de la calculadora **no se puede determinar de forma única**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Libro: Sí (38€). Calculadora: No (Sistema Indeterminado).}}$$

**(b) [1'25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 %, un 20 % y un 25 % de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.** Si un artículo tiene un descuento del $r\%$, el precio final es $(1 - \frac{r}{100})$ veces el precio original. Aplicamos esto a cada artículo: - Libro (50% desc.): $0.50x$ - Calculadora (20% desc.): $0.80y$ - Estuche (25% desc.): $0.75z$ La nueva ecuación es: $$0.5x + 0.8y + 0.75z = 34$$ Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 57 \\ x - 2y - 2z = 0 \\ 0.5x + 0.8y + 0.75z = 34 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para facilitar los cálculos, puedes multiplicar la tercera ecuación por 100 para eliminar decimales: $50x + 80y + 75z = 3400$.

Ya sabemos del apartado anterior que $x = 38$ y que $y + z = 19$. Sustituimos estos valores en la tercera ecuación: $$0.5(38) + 0.8y + 0.75z = 34$$ $$19 + 0.8y + 0.75z = 34$$ $$0.8y + 0.75z = 15$$ Como sabemos que $y + z = 19$, despejamos $z$: $z = 19 - y$. Sustituimos: $$0.8y + 0.75(19 - y) = 15$$ $$0.8y + 14.25 - 0.75y = 15$$ $$0.05y = 15 - 14.25$$ $$0.05y = 0.75$$ $$y = \frac{0.75}{0.05} = \frac{75}{5} = 15$$ Finalmente, calculamos $z$: $$z = 19 - 15 = 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Libro: 38€, Calculadora: 15€, Estuche: 4€}}$$