Análisis 2012 Andalucia
Cálculo de una primitiva con condición inicial
Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Sea la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (1 - x^2)e^{-x}$. Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(-1, 0)$.
Paso 1
Plantear la integral indefinida
Para hallar la primitiva de la función $f(x)$, debemos calcular su integral indefinida:
$$F(x) = \int (1 - x^2)e^{-x} \, dx$$
Observamos que se trata de un producto de un polinomio por una función exponencial, por lo que utilizaremos el método de **integración por partes**.
💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).
Paso 2
Primera aplicación de la integración por partes
Elegimos las partes según la regla ALPES:
- $u = 1 - x^2 \implies du = -2x \, dx$
- $dv = e^{-x} \, dx \implies v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$
Aplicamos la fórmula:
$$I = (1 - x^2)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(-2x) \, dx$$
$$I = -(1 - x^2)e^{-x} - \int 2x e^{-x} \, dx$$
Todavía nos queda una integral que requiere, de nuevo, integración por partes.
Paso 3
Segunda aplicación de la integración por partes
Resolvemos $\int 2x e^{-x} \, dx$ por partes:
- $u = 2x \implies du = 2 \, dx$
- $dv = e^{-x} \, dx \implies v = -e^{-x}$
Sustituimos:
$$\int 2x e^{-x} \, dx = (2x)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})2 \, dx$$
$$\int 2x e^{-x} \, dx = -2xe^{-x} + 2 \int e^{-x} \, dx$$
$$\int 2x e^{-x} \, dx = -2xe^{-x} - 2e^{-x} = -e^{-x}(2x + 2)$$
💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con el manejo de los signos negativos al integrar funciones exponenciales con exponente negativo.
Paso 4
Obtener la familia de primitivas
Sustituimos el resultado del paso anterior en la expresión de $I$:
$$F(x) = -(1 - x^2)e^{-x} - \left[ -e^{-x}(2x + 2) \right] + C$$
$$F(x) = (-1 + x^2)e^{-x} + (2x + 2)e^{-x} + C$$
Factorizamos $e^{-x}$ para simplificar la expresión:
$$F(x) = e^{-x}(x^2 - 1 + 2x + 2) + C$$
$$F(x) = (x^2 + 2x + 1)e^{-x} + C$$
Observamos que $x^2 + 2x + 1$ es un producto notable:
$$\boxed{F(x) = (x + 1)^2 e^{-x} + C}$$
Paso 5
Cálculo de la constante de integración
El enunciado indica que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(-1, 0)$. Esto significa que:
$$F(-1) = 0$$
Sustituimos $x = -1$ en nuestra expresión de $F(x)$ e igualamos a $0$:
$$((-1) + 1)^2 e^{-(-1)} + C = 0$$
$$(0)^2 e^{1} + C = 0$$
$$0 + C = 0 \implies C = 0$$
Por tanto, la primitiva buscada es:
$$\boxed{F(x) = (x + 1)^2 e^{-x}}$$