Cálculo de parámetros para la derivabilidad

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. El enunciado nos indica que la función $f$ es derivable en $\mathbb{R}$, por lo que debe ser continua en el salto entre ramas, concretamente en $x = 1$. Estudiamos los límites laterales en $x = 1$: - Límite por la izquierda ($x \lt 1$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( 1 + \frac{a}{x - 2} \right) = 1 + \frac{a}{1 - 2} = 1 - a$$ - Límite por la derecha y valor de la función ($x \geq 1$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} \left( a + \frac{b}{\sqrt{x}} \right) = a + \frac{b}{1} = a + b$$ Para que sea continua, ambos límites deben coincidir: $$1 - a = a + b \implies 2a + b = 1 \quad (\text{Ecuación 1})$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que $f$ sea continua en $x=c$, se debe cumplir $\lim\limits_{x \to c^-} f(x) = \lim\limits_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Una vez garantizada la continuidad, para que sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben ser iguales. Calculamos primero la función derivada para $x \neq 1$: - Para $x \lt 1$: $f(x) = 1 + a(x - 2)^{-1} \implies f'(x) = -a(x - 2)^{-2} = \frac{-a}{(x - 2)^2}$ - Para $x \gt 1$: $f(x) = a + b(x)^{-1/2} \implies f'(x) = b \left( -\frac{1}{2} \right) x^{-3/2} = -\frac{b}{2x\sqrt{x}}$ La función derivada queda: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{-a}{(x - 2)^2} & \text{si } x \lt 1 \\ -\frac{b}{2x\sqrt{x}} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Igualamos las derivadas laterales en $x = 1$: - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = \frac{-a}{(1 - 2)^2} = -a$ - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = -\frac{b}{2(1)\sqrt{1}} = -\frac{b}{2}$ Igualando: $$-a = -\frac{b}{2} \implies b = 2a \quad (\text{Ecuación 2})$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, derivamos cada rama por separado y luego forzamos que el límite de la derivada sea el mismo por ambos lados.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} 2a + b = 1 \\ b = 2a \end{cases}$$ Sustituimos el valor de $b$ de la segunda ecuación en la primera: $$2a + (2a) = 1 \implies 4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$$ Ahora calculamos $b$ usando la relación $b = 2a$: $$b = 2 \cdot \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Los valores que hacen que la función sea derivable en todo $\mathbb{R}$ son: $$\boxed{a = \frac{1}{4}, \quad b = \frac{1}{2}}$$