Puntos de una recta a una distancia dada de un plano

Para encontrar puntos específicos de la recta $r$, lo más sencillo es expresar sus coordenadas en función de un parámetro $\lambda$. Primero, ajustamos la ecuación continua para que los coeficientes de $x, y, z$ sean $+1$. En la fracción $\frac{2-y}{2}$, multiplicamos numerador y denominador por $-1$: $$\frac{2-y}{2} = \frac{y-2}{-2}$$ Ahora la recta queda como: $$r \equiv \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z - 3}{1}$$ Igualando cada término a $\lambda$, obtenemos las **ecuaciones paramétricas**: $$\begin{cases} x = 1 + 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $P$ de la recta tiene la forma $P(1+4\lambda, 2-2\lambda, 3+\lambda)$ para algún $\lambda \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector director es $(v_1, v_2, v_3)$.

Queremos que la distancia del punto genérico $P(1+4\lambda, 2-2\lambda, 3+\lambda)$ al plano $\pi \equiv x - 2y + 2z - 1 = 0$ sea igual a $4$. La fórmula de la distancia es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $P$ y los coeficientes de $\pi$: $$4 = \frac{|1 \cdot (1+4\lambda) - 2 \cdot (2-2\lambda) + 2 \cdot (3+\lambda) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$$ Operamos en el numerador: $$|1 + 4\lambda - 4 + 4\lambda + 6 + 2\lambda - 1| = |10\lambda + 2|$$ Operamos en el denominador: $$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ Por tanto, tenemos la ecuación: $$4 = \frac{|10\lambda + 2|}{3} \implies |10\lambda + 2| = 12$$ 💡 **Tip:** No olvides el valor absoluto en el numerador; es lo que nos permitirá encontrar los dos puntos posibles (uno a cada lado del plano o en distintas posiciones de la recta).

La ecuación $|10\lambda + 2| = 12$ se desglosa en dos casos posibles: **Caso 1:** $$10\lambda + 2 = 12 \implies 10\lambda = 10 \implies \lambda_1 = 1$$ **Caso 2:** $$10\lambda + 2 = -12 \implies 10\lambda = -14 \implies \lambda_2 = -\frac{14}{10} = -\frac{7}{5}$$ Procedemos a calcular los puntos correspondientes en el siguiente paso.

Sustituimos cada valor de $\lambda$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: **Para $\lambda_1 = 1$:** $$x = 1 + 4(1) = 5$$ $$y = 2 - 2(1) = 0$$ $$z = 3 + (1) = 4$$ Obtenemos el punto **$P_1(5, 0, 4)$**. **Para $\lambda_2 = -\frac{7}{5}$:** $$x = 1 + 4\left(-\frac{7}{5}\right) = 1 - \frac{28}{5} = -\frac{23}{5}$$ $$y = 2 - 2\left(-\frac{7}{5}\right) = 2 + \frac{14}{5} = \frac{24}{5}$$ $$z = 3 + \left(-\frac{7}{5}\right) = 3 - \frac{7}{5} = \frac{8}{5}$$ Obtenemos el punto **$P_2\left(-\frac{23}{5}, \frac{24}{5}, \frac{8}{5}\right)$**. Visualmente, esto representa los dos lugares donde la recta corta a los planos paralelos a $\pi$ situados a distancia 4. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P_1(5, 0, 4) \quad \text{y} \quad P_2\left(-\frac{23}{5}, \frac{24}{5}, \frac{8}{5}\right)}$$