Invertibilidad y resolución de ecuación matricial

**(a) [1 punto] Comprueba que las matrices $A$ y $B$ poseen inversas.** Para que una matriz cuadrada posea inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = (3 \cdot 1) - (-2 \cdot 5) = 3 + 10 = 13$$ Como $|A| = 13 \neq 0$, la matriz **$A$ tiene inversa ($A^{-1}$)**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (invertible) si y solo si su determinante es no nulo.

Para comprobar que $B$ tiene inversa sin necesidad de calcular sus elementos, utilizamos las propiedades de los determinantes. Sabemos que $AB = C$, donde $C = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$. Por la propiedad del determinante de un producto: $|AB| = |A| \cdot |B|$. Primero, calculamos $|AB|$: $$|AB| = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 3) - (1 \cdot 7) = -6 - 7 = -13$$ Ahora, sustituimos los valores conocidos en la propiedad: $$|A| \cdot |B| = |AB| \implies 13 \cdot |B| = -13 \implies |B| = \frac{-13}{13} = -1$$ Como $|B| = -1 \neq 0$, la matriz **$B$ tiene inversa ($B^{-1}$)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A|=13 \neq 0 \text{ y } |B|=-1 \neq 0 \implies \exists A^{-1}, B^{-1}}$$

**(b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial $A^{-1}X - B = BA$.** Para resolver la ecuación, debemos aislar la matriz $X$. Operamos paso a paso respetando las propiedades del álgebra matricial: 1. Sumamos $B$ en ambos lados: $$A^{-1}X = BA + B$$ 2. Factorizamos $B$ por la izquierda en el lado derecho: $$A^{-1}X = B(A + I)$$ Donde $I$ es la matriz identidad. 3. Para eliminar $A^{-1}$, multiplicamos por la izquierda por su inversa, que es $A$: $$A(A^{-1}X) = A[B(A + I)]$$ $$(AA^{-1})X = (AB)(A + I)$$ $$IX = (AB)(A + I)$$ $$X = (AB)(A + I)$$ 💡 **Tip:** Observa que no necesitamos calcular $B$ ni $A^{-1}$ por separado, ya que el enunciado nos da directamente el producto $AB$.

Calculamos la suma de la matriz $A$ y la identidad $I_2$: $$A + I = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+1 & -2+0 \\ 5+0 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A+I = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, multiplicamos la matriz $AB$ (dada en el enunciado) por la matriz $(A+I)$: $$X = (AB)(A+I) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento $x_{11} = (-2)(4) + (1)(5) = -8 + 5 = -3$ - Elemento $x_{12} = (-2)(-2) + (1)(2) = 4 + 2 = 6$ - Elemento $x_{21} = (7)(4) + (3)(5) = 28 + 15 = 43$ - Elemento $x_{22} = (7)(-2) + (3)(2) = -14 + 6 = -8$ 💡 **Tip:** En el producto de matrices, el orden importa: $AB \neq BA$. Aquí multiplicamos $(AB)$ a la izquierda de $(A+I)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 43 & -8 \end{pmatrix}}$$