Cálculo de parámetros con extremos e integrales

**Calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^2 + b\ln(x)$ tiene un extremo relativo en $x = 1$ y que $\int_1^4 f(x) dx = 27 - 8\ln(4)$** Si la función $f(x)$ tiene un extremo relativo en $x = 1$, su derivada en ese punto debe ser igual a cero ($f'(1) = 0$), siempre que la función sea derivable en ese punto. Calculamos primero la derivada de $f(x) = ax^2 + b\ln(x)$: $$f'(x) = 2ax + b \cdot \frac{1}{x} = 2ax + \frac{b}{x}$$ Imponemos la condición $f'(1) = 0$: $$f'(1) = 2a(1) + \frac{b}{1} = 0 \implies 2a + b = 0$$ De aquí obtenemos nuestra primera ecuación que relaciona los parámetros: $$\boxed{b = -2a}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición necesaria para la existencia de un extremo relativo en un punto interior del dominio donde la función es derivable es que su primera derivada se anule en dicho punto.

Para trabajar con la condición de la integral definida, calculamos primero la integral indefinida $\int (ax^2 + b\ln(x)) dx$. La integral se puede separar por la linealidad: $$\int (ax^2 + b\ln(x)) dx = a \int x^2 dx + b \int \ln(x) dx$$ 1. Para la parte polinómica: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$. 2. Para la parte logarítmica, aplicamos **integración por partes**: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Tomamos: - $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = dx \implies v = x$ $$\int \ln(x) dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\ln(x) - \int 1 dx = x\ln(x) - x$$ Por tanto, la primitiva general es: $$F(x) = a\frac{x^3}{3} + b(x\ln(x) - x)$$ 💡 **Tip:** La integral del logaritmo es un resultado muy común en Bachillerato, pero es fundamental saber obtenerla mediante el método de partes usando $dv=dx$.

Calculamos el valor de la integral definida entre 1 y 4: $$\int_1^4 f(x) dx = \left[ a\frac{x^3}{3} + b(x\ln(x) - x) \right]_1^4$$ Evaluamos en el límite superior ($x=4$): $$F(4) = a\frac{4^3}{3} + b(4\ln(4) - 4) = \frac{64a}{3} + 4b\ln(4) - 4b$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = a\frac{1^3}{3} + b(1\ln(1) - 1) = \frac{a}{3} + b(0 - 1) = \frac{a}{3} - b$$ Restamos ambos resultados (Regla de Barrow): $$\int_1^4 f(x) dx = \left( \frac{64a}{3} + 4b\ln(4) - 4b \right) - \left( \frac{a}{3} - b \right)$$ $$\int_1^4 f(x) dx = \frac{63a}{3} + 4b\ln(4) - 3b = 21a + 4b\ln(4) - 3b$$

Igualamos el resultado obtenido al valor dado en el enunciado: $$21a - 3b + 4b\ln(4) = 27 - 8\ln(4)$$ Sustituimos la relación hallada en el paso 1 ($b = -2a$): $$21a - 3(-2a) + 4(-2a)\ln(4) = 27 - 8\ln(4)$$ $$21a + 6a - 8a\ln(4) = 27 - 8\ln(4)$$ $$27a - 8a\ln(4) = 27 - 8\ln(4)$$ Factorizamos $a$ en el lado izquierdo: $$a(27 - 8\ln(4)) = 27 - 8\ln(4)$$ Dividiendo ambos miembros por $(27 - 8\ln(4))$, que es distinto de cero: $$\mathbf{a = 1}$$ Calculamos $b$ usando la relación $b = -2a$: $$b = -2(1) = -2 \implies \mathbf{b = -2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = 1x^2 - 2\\ln(x)", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{1 \\le x \\le 4\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "extremum", "latex": "(1, f(1))", "showLabel": true, "label": "Extremo relativo" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 5, "bottom": -2, "top": 18 } } }