Estudio de una función logarítmica: Extremos y Recta Normal

**(a) [1'5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Primero, analizamos el dominio de la función $f(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x$. El logaritmo solo está definido para valores positivos. Analizamos el discriminante del polinomio $x^2 + 3x + 3$: $$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3 \lt 0$$ Como el discriminante es negativo y el coeficiente de $x^2$ es positivo ($1 \gt 0$), la parábola siempre es positiva ($x^2 + 3x + 3 \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$). Por tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = \frac{d}{dx}[\ln(x^2 + 3x + 3)] - \frac{d}{dx}[x]$$ $$f'(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 3} - 1$$ Simplificamos la expresión de $f'(x)$ buscando un denominador común: $$f'(x) = \frac{2x + 3 - (x^2 + 3x + 3)}{x^2 + 3x + 3} = \frac{2x + 3 - x^2 - 3x - 3}{x^2 + 3x + 3} = \frac{-x^2 - x}{x^2 + 3x + 3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. En este caso, $u = x^2 + 3x + 3$ y $u' = 2x + 3$. $$\boxed{f'(x) = \frac{-x^2 - x}{x^2 + 3x + 3}}$$

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -x^2 - x = 0 \implies -x(x + 1) = 0$$ Obtenemos dos soluciones: - $x = 0$ - $x = -1$ Como el denominador $x^2 + 3x + 3$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende únicamente del numerador $-x^2 - x$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\ f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. - En $(-1, 0)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en: } (-1, 0) \quad \text{Decreciente en: } (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)}$$

A partir del estudio de la monotonía, determinamos los extremos relativos: 1. **Mínimo relativo** en $x = -1$ (pasa de decreciente a creciente): $$f(-1) = \ln((-1)^2 + 3(-1) + 3) - (-1) = \ln(1 - 3 + 3) + 1 = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$$ El punto es $(-1, 1)$. 2. **Máximo relativo** en $x = 0$ (pasa de creciente a decreciente): $$f(0) = \ln(0^2 + 3(0) + 3) - 0 = \ln(3)$$ El punto es $(0, \ln(3))$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (-1, 1) \quad \text{Máximo relativo en } (0, \ln(3))}$$

**(b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -2$.** Primero, hallamos la ordenada del punto calculando $f(-2)$: $$y_0 = f(-2) = \ln((-2)^2 + 3(-2) + 3) - (-2) = \ln(4 - 6 + 3) + 2 = \ln(1) + 2 = 2$$ El punto de tangencia es **$P(-2, 2)$**. Calculamos la pendiente de la recta tangente ($m_t$) en $x = -2$ usando la derivada: $$m_t = f'(-2) = \frac{-(-2)^2 - (-2)}{(-2)^2 + 3(-2) + 3} = \frac{-4 + 2}{4 - 6 + 3} = \frac{-2}{1} = -2$$ La pendiente de la recta normal ($m_n$) es la opuesta e inversa de la pendiente de la tangente: $$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares es $m_t \cdot m_n = -1$.

Utilizamos la ecuación en forma punto-pendiente: $y - y_0 = m_n(x - x_0)$. Sustituimos $x_0 = -2$, $y_0 = 2$ y $m_n = \frac{1}{2}$: $$y - 2 = \frac{1}{2}(x - (-2))$$ $$y - 2 = \frac{1}{2}(x + 2)$$ $$y - 2 = \frac{1}{2}x + 1$$ $$y = \frac{1}{2}x + 3$$ ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{y = \frac{1}{2}x + 3}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\ln(x^2 + 3x + 3) - x", "color": "#2563eb" }, { "id": "normal", "latex": "y = 0.5x + 3", "color": "#ef4444" }, { "id": "P", "latex": "(-2, 2)", "color": "#111827", "showLabel": true, "label": "P(-2, 2)" }, { "id": "min", "latex": "(-1, 1)", "color": "#16a34a", "showLabel": true }, { "id": "max", "latex": "(0, 1.0986)", "color": "#16a34a", "showLabel": true, "label": "(0, ln 3)" } ], "bounds": { "left": -6, "right": 4, "bottom": -1, "top": 5 } } }