Vectores, dependencia lineal y ortogonalidad

**(a) [0'75 puntos] Determina los valores de $k$ para los que $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ son linealmente dependientes.** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si y solo si el determinante de la matriz formada por sus coordenadas es igual a cero. Planteamos el determinante con los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ por filas: $$D = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante usando la regla de Sarrus: $$D = (k \cdot 1 \cdot k) + (1 \cdot (-2) \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot (-2) \cdot k) + (k \cdot 2 \cdot 1) ]$$ $$D = k^2 - 2 + 2 - [ 1 - 2k + 2k ]$$ $$D = k^2 - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes y forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Para que sean linealmente dependientes, igualamos el determinante a cero: $$k^2 - 1 = 0 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm \sqrt{1}$$ Por lo tanto, los valores son: $$k = 1, \quad k = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 1, \quad k = -1}$$

**(b) [1 punto] Determina los valores de $k$ para los que $\vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{v} - \vec{w}$ son ortogonales.** Primero calculamos los vectores resultantes de las operaciones dadas: 1. Vector suma $\vec{a} = \vec{u} + \vec{v}$: $$\vec{a} = (k, 1, 1) + (2, 1, -2) = (k+2, 1+1, 1-2) = (k+2, 2, -1)$$ 2. Vector resta $\vec{b} = \vec{v} - \vec{w}$: $$\vec{b} = (2, 1, -2) - (1, 1, k) = (2-1, 1-1, -2-k) = (1, 0, -2-k)$$ 💡 **Tip:** Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es nulo: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Aplicamos el producto escalar e igualamos a cero: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (k+2) \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot (-2-k) = 0$$ $$k + 2 + 0 + (2 + k) = 0$$ $$2k + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de primer grado: $$2k = -4 \implies k = -2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -2}$$

**(c) [0'75 puntos] Para $k = -1$, determina aquellos vectores que son ortogonales a $\vec{v}$ y $\vec{w}$ y tienen módulo 1.** Si $k = -1$, los vectores son $\vec{v} = (2, 1, -2)$ y $\vec{w} = (1, 1, -1)$. Un vector ortogonal a ambos simultáneamente se obtiene mediante el producto vectorial $\vec{v} \times \vec{w}$: $$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\vec{v} \times \vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v} \times \vec{w} = \vec{i} (-1 - (-2)) - \vec{j} (-2 - (-2)) + \vec{k} (2 - 1)$$ $$\vec{v} \times \vec{w} = \vec{i}(1) - \vec{j}(0) + \vec{k}(1) = (1, 0, 1)$$ Llamemos $\vec{x} = (1, 0, 1)$ a este vector.

El enunciado pide que el vector tenga módulo 1. Calculamos el módulo de $\vec{x} = (1, 0, 1)$: $$|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ Para obtener vectores unitarios (módulo 1), dividimos el vector y su opuesto por su módulo: $$\vec{u_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1) = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$ $$\vec{u_2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1) = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$ Racionalizando (opcional pero recomendado): $$\vec{u_1} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right), \quad \vec{u_2} = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$