Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros

**(a) [1'25 puntos] Determina los valores de $k$ para los que el sistema tiene más de una solución.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & k & 2 \\ 1 & 2 & k \\ k+1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & k & 2 & k+1 \\ 1 & 2 & k & 3 \\ k+1 & 1 & 1 & k+2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & 2 \\ 1 & 2 & k \\ k+1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 2\cdot 1) + (k\cdot k\cdot (k+1)) + (2\cdot 1\cdot 1) - [(k+1)\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot k\cdot 1 + 1\cdot k\cdot 1]$$ $$|A| = 2 + (k^2)(k+1) + 2 - [4(k+1) + k + k]$$ $$|A| = 4 + k^3 + k^2 - [4k + 4 + 2k] = k^3 + k^2 + 4 - 6k - 4 = k^3 + k^2 - 6k$$ 💡 **Tip:** El determinante es clave para aplicar el Teorema de Rouché-Capelli. Si $|A| \neq 0$, el sistema es compatible determinado (solución única).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores donde el rango de $A$ es menor que 3: $$k^3 + k^2 - 6k = 0 \implies k(k^2 + k - 6) = 0$$ Esto nos da la primera solución $k = 0$. Para el paréntesis, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \implies k = 2, \quad k = -3$$ Los valores críticos son **$k = 0$**, **$k = 2$** y **$k = -3$**.

Para que el sistema tenga más de una solución (Sistema Compatible Indeterminado), debe cumplirse que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < 3$ según el Teorema de Rouché-Capelli. - **Si $k = 2$**: Las dos primeras filas de $A^*$ son iguales: $(1, 2, 2, 3)$, por lo que una es redundante. Como $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -5 \neq 0$, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$. Es SCI. - **Si $k = -3$**: $\text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2+18-2) - (8+3+3) = 14 - 14 = 0.$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$. Es SCI. - **Si $k = 0$**: $\text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (4+0+1) - (2+3+0) = 5 - 5 = 0.$$ De nuevo, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$. Es SCI. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{k = 0, \quad k = 2, \quad k = -3}$$

**(b) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de $k$ para el cual el sistema no tiene solución?** Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, un sistema no tiene solución (Sistema Incompatible) si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$. Hemos analizado los tres únicos casos donde el determinante de $A$ es cero (donde el rango podría ser distinto al de la ampliada): 1. Si $k \notin \{0, 2, -3\}$, $|A| \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Compatible Determinado**. 2. Si $k \in \{0, 2, -3\}$, hemos comprobado en el apartado anterior que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$, por lo que el sistema es **Compatible Indeterminado**. En ningún caso los rangos son distintos. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } k \text{ para el cual el sistema no tenga solución.}}$$

**(c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para $k = 0$.** Sustituimos $k = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + 2z = 1 \\ x + 2y = 3 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$ Como sabemos que es un Sistema Compatible Indeterminado con $\text{rg}(A) = 2$, tomamos un parámetro. Sea **$z = \lambda$**. De la primera ecuación despejamos $x$: $$x = 1 - 2z = 1 - 2\lambda$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$(1 - 2\lambda) + 2y = 3 \implies 2y = 2 + 2\lambda \implies y = 1 + \lambda$$ Comprobamos en la tercera ecuación: $$(1 - 2\lambda) + (1 + \lambda) + \lambda = 2 \implies 2 = 2$$ (Se cumple). 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rg}(A)$, en este caso $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$