Área de un recinto acotado por una parábola y dos rectas

**(a) [0'5 puntos] Realiza un esbozo de dicho recinto.** Para representar el recinto, identificamos las funciones que lo delimitan: 1. **Recta $r_1$:** $y = 4x$. Es una recta que pasa por el origen $(0,0)$ y tiene pendiente positiva. 2. **Recta $r_2$:** $y = 8 - 4x$. Es una recta que corta al eje $Y$ en $(0,8)$ y al eje $X$ en $(2,0)$. 3. **Parábola $c_1$:** $y = 2x - x^2$. - Sus puntos de corte con el eje $X$ ($y=0$) son $x(2-x)=0$, es decir, $x=0$ y $x=2$. - El vértice se encuentra en $x_v = -b/2a = -2/(-2) = 1$. La ordenada es $y_v = 2(1) - 1^2 = 1$. El recinto está en el primer cuadrante y limitado superiormente por las rectas e inferiormente por la curva. 💡 **Tip:** Para esbozar recintos, es fundamental hallar los puntos donde las funciones se cortan entre sí para definir los intervalos de integración.

Para delimitar el área con precisión, calculamos las intersecciones de las funciones: - **Intersección de las dos rectas:** $$4x = 8 - 4x \implies 8x = 8 \implies x = 1$$ Sustituyendo en $y=4x$, obtenemos el punto **$(1, 4)$**. - **Intersección de $y = 4x$ con la parábola $y = 2x - x^2$:** $$4x = 2x - x^2 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0$$ Obtenemos $x=0$ (en el primer cuadrante) y $x=-2$. El punto es **$(0, 0)$**. - **Intersección de $y = 8 - 4x$ con la parábola $y = 2x - x^2$:** $$8 - 4x = 2x - x^2 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ Obtenemos $x=4$ y $x=2$. El punto dentro de nuestro interés es **$(2, 0)$**. Con estos datos, observamos que el recinto se divide en dos partes en $x=1$.

**(b) [2 puntos] Calcula su área.** El área total $A$ es la suma de dos regiones debido al cambio de la función superior en $x=1$: 1. **Región 1 ($x \in [0, 1]$):** Limitada por arriba por $y=4x$ y por abajo por $y=2x-x^2$. 2. **Región 2 ($x \in [1, 2]$):** Limitada por arriba por $y=8-4x$ y por abajo por $y=2x-x^2$. $$A = \int_{0}^{1} [4x - (2x - x^2)] \, dx + \int_{1}^{2} [(8 - 4x) - (2x - x^2)] \, dx$$ Simplificamos los integrandos: $$A = \int_{0}^{1} (x^2 + 2x) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 8) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos curvas $f(x)$ (superior) y $g(x)$ (inferior) es $\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx$.

Calculamos la primera parte del área aplicando la regla de Barrow: $$\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en los límites: $$= \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$

Calculamos la segunda parte del área: $$\int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 8) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$= \left( \frac{2^3}{3} - 3(2^2) + 8(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 3(1^2) + 8(1) \right)$$ $$= \left( \frac{8}{3} - 12 + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} - 3 + 8 \right) = \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 5 \right)$$ $$= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$ Sumamos ambas áreas para obtener el área total del recinto: $$A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{8}{3} \text{ u}^2 \approx 2,67 \text{ u}^2}$$