Optimización de áreas: alambre dividido en rectángulo y cuadrado

Sea $L = 2$ metros la longitud total del alambre. Dividimos el alambre en dos trozos: - **Trozo 1**: de longitud $x$, destinado al rectángulo. - **Trozo 2**: de longitud $2 - x$, destinado al cuadrado. Restricción del dominio: Como son longitudes físicas, $0 \le x \le 2$. Para el rectángulo, sabemos que la base ($b$) es el doble de la altura ($h$): $$b = 2h$$ El perímetro del rectángulo es la longitud del primer trozo: $$P_{rect} = 2b + 2h = x$$ Sustituimos $b$: $$2(2h) + 2h = x \implies 6h = x \implies h = \frac{x}{6}$$ Por tanto, la base es: $$b = 2 \cdot \frac{x}{6} = \frac{x}{3}$$ Para el cuadrado, la longitud del segundo trozo es su perímetro: $$P_{cuad} = 4s = 2 - x \implies s = \frac{2 - x}{4}$$ donde $s$ es el lado del cuadrado. 💡 **Tip:** Siempre es útil definir una variable principal (en este caso, la longitud de uno de los cortes) y expresar todas las dimensiones geométricas en función de ella.

Queremos minimizar la suma de las áreas $A(x) = A_{rectángulo} + A_{cuadrado}$. 1. **Área del rectángulo**: $$A_R = b \cdot h = \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{6} = \frac{x^2}{18}$$ 2. **Área del cuadrado**: $$A_S = s^2 = \left( \frac{2 - x}{4} \right)^2 = \frac{(2 - x)^2}{16}$$ La función a minimizar es: $$A(x) = \frac{x^2}{18} + \frac{(2 - x)^2}{16}$$ Podemos desarrollar el binomio para facilitar la derivada: $$A(x) = \frac{x^2}{18} + \frac{4 - 4x + x^2}{16}$$ $$\boxed{A(x) = \frac{x^2}{18} + \frac{(2 - x)^2}{16}}$$

Para hallar el mínimo, derivamos $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = \frac{2x}{18} + \frac{2(2 - x) \cdot (-1)}{16}$$ Simplificamos: $$A'(x) = \frac{x}{9} - \frac{2 - x}{8}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{x}{9} - \frac{2 - x}{8} = 0 \implies \frac{x}{9} = \frac{2 - x}{8}$$ Multiplicamos en cruz: $$8x = 9(2 - x) \implies 8x = 18 - 9x$$ $$17x = 18 \implies x = \frac{18}{17}$$ 💡 **Tip:** Recuerda aplicar la regla de la cadena al derivar $(2-x)^2$, ya que la derivada de la base $(2-x)$ es $-1$. $$\boxed{x = \frac{18}{17} \approx 1.0588 \text{ m}}$$

Para asegurar que $x = 18/17$ es un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{9} - \frac{2 - x}{8} \right) = \frac{1}{9} - \left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{1}{9} + \frac{1}{8}$$ $$A''(x) = \frac{17}{72}$$ Como $A''(x) \gt 0$ para cualquier valor de $x$, la función es convexa y el punto crítico hallado es un **mínimo relativo** (que en este intervalo es el absoluto). También podemos observar el cambio de signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 18/17) & 18/17 & (18/17, 2) \\ \hline A'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ La función decrece antes de $18/17$ y crece después, confirmando el mínimo.

Calculamos las longitudes de ambos trozos: - **Trozo para el rectángulo ($x$)**: $$x = \frac{18}{17} \text{ metros}$$ - **Trozo para el cuadrado ($2-x$)**: $$2 - \frac{18}{17} = \frac{34 - 18}{17} = \frac{16}{17} \text{ metros}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Trozo rectángulo: } \frac{18}{17} \text{ m, Trozo cuadrado: } \frac{16}{17} \text{ m}}$$