Intersección de rectas y plano que las contiene

**(a) [1'25 puntos] Determina el punto de intersección de ambas rectas.** Para trabajar con mayor comodidad, lo primero que haremos es expresar la recta $r$ en forma paramétrica. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos: $$r \equiv \begin{cases} x + y - z = 6 \\ x + z = 3 \end{cases}$$ Podemos parametrizar usando $x = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $z = 3 - x = 3 - \lambda$. 2. Sustituimos en la primera: $x + y - z = 6 \implies \lambda + y - (3 - \lambda) = 6$. 3. Despejamos $y$: $\lambda + y - 3 + \lambda = 6 \implies y = 9 - 2\lambda$. Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 9 - 2\lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables (en este caso $x$) y despejar las demás en función de esta.

Ahora expresamos la recta $s$ también en forma paramétrica usando un parámetro distinto, por ejemplo $\mu$: $$s \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 1}{6} = \frac{z}{2} = \mu \implies \begin{cases} x = 1 - \mu \\ y = -1 + 6\mu \\ z = 2\mu \end{cases}$$ Igualamos las coordenadas de $r$ y $s$ para encontrar el punto común: $$\begin{cases} \lambda = 1 - \mu \quad (1) \\ 9 - 2\lambda = -1 + 6\mu \quad (2) \\ 3 - \lambda = 2\mu \quad (3) \end{cases}$$ De la ecuación (1) tenemos $\lambda + \mu = 1$. De la (3) tenemos $\lambda + 2\mu = 3$. Restamos la primera a la segunda: $(\lambda + 2\mu) - (\lambda + \mu) = 3 - 1 \implies \mu = 2$. Sustituyendo $\mu = 2$ en (1): $\lambda = 1 - 2 = -1$. Comprobamos en la ecuación (2): $9 - 2(-1) = 11$ y $-1 + 6(2) = 11$. Como coinciden, las rectas se cortan. Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de $r$: $x = -1$ $y = 9 - 2(-1) = 11$ $z = 3 - (-1) = 4$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(-1, 11, 4)}$$

**(b) [1'25 puntos] Calcula la ecuación general del plano que las contiene.** Para hallar el plano $\pi$ que contiene a dos rectas que se cortan, necesitamos un punto (usaremos el punto de intersección $P(-1, 11, 4)$) y los vectores directores de ambas rectas. - Vector director de $r$ (de sus paramétricas): $\vec{v}_r = (1, -2, -1)$ - Vector director de $s$ (de sus denominadores): $\vec{v}_s = (-1, 6, 2)$ 💡 **Tip:** Dos rectas definen un plano si son paralelas o si se cortan en un punto. En este caso, al cortarse en $P$, el plano estará generado por $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ pasando por $P$.

La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ v_{r1} & v_{r2} & v_{r3} \\ v_{s1} & v_{s2} & v_{s3} \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x + 1 & y - 11 & z - 4 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 6 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila (adjuntos): $(x + 1) \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} - (y - 11) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + (z - 4) \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} = 0$ Calculamos los determinantes $2 \times 2$: - $x+1$: $(-2 \cdot 2) - (6 \cdot -1) = -4 + 6 = 2$ - $y-11$: $(1 \cdot 2) - (-1 \cdot -1) = 2 - 1 = 1$ - $z-4$: $(1 \cdot 6) - (-1 \cdot -2) = 6 - 2 = 4$ Sustituimos: $2(x + 1) - 1(y - 11) + 4(z - 4) = 0$ $2x + 2 - y + 11 + 4z - 16 = 0$ $2x - y + 4z - 3 = 0$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x - y + 4z - 3 = 0}$$