Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**(a) [1 punto] Resuelve el sistema para $\lambda = 1$.** Sustituimos el valor de $\lambda = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y + z = 1 + 1 \\ 3y + 2z = 2(1) + 3 \\ 3x + (1 - 1)y + z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 3y + 2z = 5 \\ 3x + z = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, podemos usar el método de sustitución. De la tercera ecuación, despejamos $z$: $$z = 1 - 3x$$ Sustituimos $z$ en la segunda ecuación: $$3y + 2(1 - 3x) = 5 \implies 3y + 2 - 6x = 5 \implies 3y - 6x = 3$$ Dividiendo entre 3: $$y - 2x = 1 \implies y = 1 + 2x$$ Finalmente, sustituimos $y$ y $z$ en la primera ecuación para comprobar la compatibilidad: $$x + (1 + 2x) + (1 - 3x) = 2 \implies x + 1 + 2x + 1 - 3x = 2 \implies 2 = 2$$ La igualdad $2=2$ indica que el sistema es **Compatible Indeterminado** (tiene infinitas soluciones). Expresamos la solución en función de un parámetro $x = \alpha$: $$\begin{cases} x = \alpha \\ y = 1 + 2\alpha \\ z = 1 - 3\alpha \end{cases} \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Cuando al resolver un sistema llegas a una identidad como $0=0$ o $2=2$, significa que una de las ecuaciones era dependiente de las otras y el sistema tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \alpha, \, y = 1 + 2\alpha, \, z = 1 - 3\alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R})}$$

**(b) [1 punto] Halla los valores de $\lambda$ para los que el sistema tiene una única solución.** Un sistema lineal tiene una única solución (es un Sistema Compatible Determinado) si el determinante de la matriz de coeficientes $A$ es distinto de cero. Escribimos la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 3 & \lambda - 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A|$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 3 & \lambda - 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot 0 \cdot (\lambda - 1)) - (1 \cdot 3 \cdot 3) - (1 \cdot 0 \cdot 1) - (2 \cdot (\lambda - 1) \cdot 1)$$ $$|A| = 3 + 6 + 0 - 9 - 0 - 2(\lambda - 1)$$ $$|A| = 9 - 9 - 2\lambda + 2 = 2 - 2\lambda$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$ (nº de incógnitas), por lo que el sistema es Compatible Determinado.

Para que el sistema tenga una única solución, imponemos $|A| \neq 0$: $$2 - 2\lambda \neq 0 \implies 2 \neq 2\lambda \implies \lambda \neq 1$$ Por tanto, para cualquier valor de $\lambda$ distinto de 1, el determinante será no nulo, el rango de la matriz será 3 y, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema tendrá una solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**(c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de $\lambda$ para el que el sistema admite la solución $(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$?** Si $(x, y, z) = (-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ es solución, debe satisfacer las tres ecuaciones del sistema para un mismo valor de $\lambda$. Sustituimos en la **primera ecuación**: $$-\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = \lambda + 1 \implies 0 = \lambda + 1 \implies \lambda = -1$$ Ahora comprobamos si este valor $\lambda = -1$ cumple la **segunda ecuación**: $$3(0) + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 2(-1) + 3 \implies 1 = -2 + 3 \implies 1 = 1 \quad \text{(Se cumple)}$$ Finalmente, comprobamos en la **tercera ecuación** con $\lambda = -1$: $$3\left(-\frac{1}{2}\right) + (-1 - 1)(0) + \frac{1}{2} = -1 \implies -\frac{3}{2} + 0 + \frac{1}{2} = -1 \implies -\frac{2}{2} = -1 \implies -1 = -1 \quad \text{(Se cumple)}$$ Como el valor $\lambda = -1$ satisface todas las ecuaciones para el punto dado, concluimos que dicho valor existe. 💡 **Tip:** Para verificar si un punto es solución con un parámetro, basta con sustituir las coordenadas en las ecuaciones y ver si se obtiene un valor de $\lambda$ consistente en todas ellas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, existe para } \lambda = -1}$$