Integral por fracciones simples y cálculo de área

**(a) [1'25 puntos] Halla una primitiva de $f$.** Para hallar una primitiva de $f(x) = \frac{2}{x^2 - 1}$, debemos calcular la integral indefinida $\int \frac{2}{x^2 - 1} \, dx$. Puesto que el denominador es un polinomio de segundo grado con raíces reales distintas, utilizaremos el método de **descomposición en fracciones simples**. Primero, factorizamos el denominador: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Ahora planteamos la descomposición: $$\frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$ Multiplicando ambos miembros por el denominador común $(x - 1)(x + 1)$: $$2 = A(x + 1) + B(x - 1)$$ 💡 **Tip:** Para encontrar $A$ y $B$ rápidamente, damos a $x$ los valores de las raíces del denominador.

Calculamos los valores de $A$ y $B$ sustituyendo en la ecuación $2 = A(x + 1) + B(x - 1)$: - Si $x = 1$: $$2 = A(1 + 1) + B(1 - 1) \implies 2 = 2A \implies A = 1$$ - Si $x = -1$: $$2 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) \implies 2 = -2B \implies B = -1$$ Por tanto, la función se puede escribir como: $$f(x) = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$$ $$\boxed{f(x) = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}}$$

Integramos cada una de las fracciones resultantes: $$\int f(x) \, dx = \int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right) dx = \int \frac{1}{x - 1} \, dx - \int \frac{1}{x + 1} \, dx$$ Ambas son integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$\int f(x) \, dx = \ln|x - 1| - \ln|x + 1| + C$$ Usando las propiedades de los logaritmos, $\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$, podemos expresar la primitiva de forma más compacta. Como nos piden "una" primitiva, podemos tomar $C = 0$: 💡 **Tip:** Recuerda que la primitiva de $\frac{u'}{u}$ es $\ln|u|$. ✅ **Resultado (primitiva):** $$\boxed{F(x) = \ln\left| \frac{x - 1}{x + 1} \right|}$$

**(b) [1'25 puntos] Calcula el valor de $k$ para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de $f$ en el intervalo $[2, k]$ sea $\ln(2)$.** Primero, analizamos el signo de la función en el intervalo $[2, k]$. Puesto que $x \ge 2$, el denominador $x^2 - 1$ es siempre positivo ($x^2 - 1 \ge 3$). Como el numerador es $2$ (positivo), la función $f(x)$ es positiva en todo el intervalo de integración. El área $A$ viene dada por la integral definida: $$A = \int_{2}^{k} \frac{2}{x^2 - 1} \, dx = \ln(2)$$ Como ya conocemos la primitiva del apartado anterior, aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ \ln\left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| \right]_{2}^{k} = \ln(2)$$ 💡 **Tip:** Si la función es positiva en $[a, b]$, el área es simplemente $\int_{a}^{b} f(x)dx$.

Evaluamos en los límites de integración $k$ y $2$: $$\left( \ln\left| \frac{k - 1}{k + 1} \right| \right) - \left( \ln\left| \frac{2 - 1}{2 + 1} \right| \right) = \ln(2)$$ Simplificamos los términos conocidos: $$\ln\left| \frac{k - 1}{k + 1} \right| - \ln\left( \frac{1}{3} \right) = \ln(2)$$ Usando de nuevo las propiedades de los logaritmos ($\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$ o $-\ln(1/x) = \ln(x)$): $$\ln\left| \frac{k - 1}{k + 1} \right| + \ln(3) = \ln(2)$$ $$\ln\left| \frac{3(k - 1)}{k + 1} \right| = \ln(2)$$ Dado que $k > 2$, la expresión dentro del valor absoluto es positiva, por lo que podemos quitarlo.

Igualamos los argumentos de los logaritmos: $$\frac{3(k - 1)}{k + 1} = 2$$ Resolvemos la ecuación de primer grado: $$3k - 3 = 2(k + 1)$$ $$3k - 3 = 2k + 2$$ $$3k - 2k = 2 + 3$$ $$k = 5$$ ✅ **Resultado (valor de k):** $$\boxed{k = 5}$$ Podemos verificar que $k=5$ está en el dominio y es coherente con el intervalo $[2, k]$ con $k > 2$.