Límite con parámetro aplicando la Regla de L'Hôpital

Para calcular el valor del límite, $$\lim_{x o 0} \frac{a \cdot \text{sen}(x) - xe^x}{x^2},$$ comenzamos evaluando la función en $x = 0$: $$\frac{a \cdot \text{sen}(0) - 0 \cdot e^0}{0^2} = \frac{0}{0}.$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Dado que las funciones del numerador y denominador son derivables en un entorno de $0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando el numerador y el denominador de forma independiente: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $(a \cdot \text{sen}(x) - xe^x)' = a \cos(x) - (1 \cdot e^x + x e^x) = a \cos(x) - e^x - xe^x.$ - Denominador: $(x^2)' = 2x.$ Por tanto, el límite es: $$\lim_{x o 0} \frac{a \cdot \text{sen}(x) - xe^x}{x^2} = \lim_{x o 0} \frac{a \cos(x) - e^x - xe^x}{2x}.$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: $$\frac{a \cos(0) - e^0 - 0 \cdot e^0}{2(0)} = \frac{a - 1}{0}.$$ El enunciado afirma que el límite es **finito**. Para que un límite de la forma $\frac{k}{0}$ sea finito, es necesario que el numerador también sea cero (para mantener la indeterminación y poder seguir operando), de lo contrario el límite sería infinito. Por tanto, imponemos: $$a - 1 = 0 \implies \mathbf{a = 1}.$$ ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = 1}$$

Sustituimos $a = 1$ en la expresión del límite tras la primera derivada: $$\lim_{x o 0} \frac{\cos(x) - e^x - xe^x}{2x}.$$ Al evaluar, volvemos a obtener una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$: $$\frac{\cos(0) - e^0 - 0}{2(0)} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}.$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital por segunda vez**: - Derivada del numerador: $(\cos(x) - e^x - xe^x)' = -\text{sen}(x) - e^x - (e^x + xe^x) = -\text{sen}(x) - 2e^x - xe^x.$ - Derivada del denominador: $(2x)' = 2.$ Calculamos el límite final: $$\lim_{x o 0} \frac{\cos(x) - e^x - xe^x}{2x} = \lim_{x o 0} \frac{-\text{sen}(x) - 2e^x - xe^x}{2} = \frac{-\text{sen}(0) - 2e^0 - 0}{2} = \frac{-2}{2} = -1.$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al derivar productos como $xe^x$. La derivada de $xe^x$ es $(1)e^x + x(e^x)$. Al tener un signo menos delante, afecta a ambos términos: $-(e^x + xe^x) = -e^x - xe^x$. ✅ **Resultado (valor del límite):** $$\boxed{\text{Límite} = -1}$$