Geometría del paralelogramo: Recta perpendicular, área y cuarto vértice

**(a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.** El centro de un paralelogramo, al que llamaremos $M$, es el punto donde se cortan sus diagonales. En un paralelogramo, las diagonales se bisecan mutuamente, por lo que $M$ es el punto medio del segmento que une dos vértices opuestos, en este caso $A$ y $C$. Calculamos las coordenadas de $M$ como la media aritmética de $A(2, -1, 0)$ y $C(0, 1, 2)$: $$M = \frac{A + C}{2} = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cualquier paralelogramo $ABCD$, el punto medio de la diagonal $AC$ coincide con el punto medio de la diagonal $BD$. $$\boxed{M(1, 0, 1)}$$

Para que la recta sea perpendicular al plano que contiene al paralelogramo, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser el vector normal al plano, $\vec{n}$. Podemos obtener el vector normal realizando el producto vectorial de dos vectores no colineales que estén contenidos en el plano, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (-2 - 2, 1 - (-1), 0 - 0) = (-4, 2, 0)$$ $$\vec{BC} = C - B = (0 - (-2), 1 - 1, 2 - 0) = (2, 0, 2)$$ Calculamos el producto vectorial mediante un determinante: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n} = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - ((-4) \cdot 2 - 0 \cdot 2)\mathbf{j} + ((-4) \cdot 0 - 2 \cdot 2)\mathbf{k}$$ $$\vec{n} = 4\mathbf{i} - (-8)\mathbf{j} - 4\mathbf{k} = (4, 8, -4)$$ Para simplificar la ecuación de la recta, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $\vec{v_r} = (1, 2, -1)$. $$\boxed{\vec{v_r} = (1, 2, -1)}$$

Con el punto $M(1, 0, 1)$ y el vector director $\vec{v_r}(1, 2, -1)$, escribimos la ecuación de la recta. Podemos expresarla en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{-1}$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{r \equiv (x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda(1, 2, -1)}$$

**(b) [0'75 puntos] Halla el área de dicho paralelogramo.** El área de un paralelogramo definido por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ es igual al módulo de su producto vectorial. Ya hemos calculado previamente que $\vec{AB} \times \vec{BC} = (4, 8, -4)$. Por tanto: $$\text{Área} = |\vec{AB} \times \vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 8^2 + (-4)^2}$$ $$\text{Área} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96}$$ Simplificando el radical: $$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área es el módulo del producto vectorial de dos vectores que forman los lados contiguos del paralelogramo. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Área} = 4\sqrt{6} \text{ unidades}^2 \approx 9.8 \text{ u}^2}$$

**(c) [0'75 puntos] Calcula el vértice $D$.** En un paralelogramo $ABCD$, se cumple la igualdad de vectores de sus lados opuestos: $\vec{AD} = \vec{BC}$ o también $\vec{AB} = \vec{DC}$. Usando $\vec{AD} = \vec{BC}$, donde $D(x, y, z)$: $$D - A = C - B$$ $$D = A + (C - B) = A + \vec{BC}$$ Sustituimos las coordenadas de $A(2, -1, 0)$ y el vector $\vec{BC}(2, 0, 2)$: $$D = (2, -1, 0) + (2, 0, 2)$$ $$D = (2 + 2, -1 + 0, 0 + 2)$$ $$D = (4, -1, 2)$$ Podemos comprobarlo verificando que el punto medio de $BD$ sea el mismo $M(1, 0, 1)$ que calculamos antes: $$M_{BD} = \frac{(-2, 1, 0) + (4, -1, 2)}{2} = \left( \frac{2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 0, 1)$$. ¡Es correcto! ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{D(4, -1, 2)}$$