Invertibilidad de una matriz y resolución de ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro $k$ no existe la inversa de la matriz $A$? Justifica la respuesta.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por lo tanto, no existirá la inversa cuando $|A| = 0$. Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando el desarrollo por los elementos de la primera fila, ya que contiene varios ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & k & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ k & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix}$$ $$|A| = 1 \cdot (2k - 1) = 2k - 1$$ 💡 **Tip:** También podrías usar la regla de Sarrus: $|A| = (0\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot 2\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot k) - (1\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot 2\cdot 1 + 0\cdot k\cdot 2) = 2k - 1$.

Para que no exista la inversa, igualamos el determinante a cero: $$|A| = 0 \implies 2k - 1 = 0$$ Despejamos $k$: $$2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$$ Justificación: La matriz $A$ no es invertible cuando su determinante es nulo, lo cual ocurre únicamente para el valor hallado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = \frac{1}{2}}$$

**(b) [1'5 puntos] Para $k = 0$, resuelve la ecuación matricial $(X + I) \cdot A = A^t$, donde $I$ denota la matriz identidad y $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación $(X + I) \cdot A = A^t$. Para ello, multiplicamos por la derecha por la inversa de $A$ (si existe): $$(X + I) \cdot A \cdot A^{-1} = A^t \cdot A^{-1}$$ $$(X + I) \cdot I = A^t \cdot A^{-1}$$ $$X + I = A^t \cdot A^{-1}$$ $$X = A^t \cdot A^{-1} - I$$ Para $k = 0$, el determinante es $|A| = 2(0) - 1 = -1$. Como $|A| \neq 0$, la matriz inversa $A^{-1}$ existe y el despeje es válido. 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Al multiplicar por $A^{-1}$ para eliminar $A$, debemos hacerlo por el mismo lado (la derecha) en ambos miembros de la igualdad.

Para $k = 0$, tenemos $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $|A| = -1$. Calculamos la traspuesta de $A$: $$A^t = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz inversa $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Primero los adjuntos $A_{ij}$: - $A_{11} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$; $A_{12} = -|\begin{smallmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}| = 0$; $A_{13} = +|\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}| = -1$ - $A_{21} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 0$; $A_{22} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}| = -1$; $A_{23} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{31} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}| = -1$; $A_{32} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{smallmatrix}| = 2$; $A_{33} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix}| = 0$ $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Calculamos el producto $A^t \cdot A^{-1}$: $$A^t \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, restamos la identidad $I$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}}$$