Teorema fundamental del cálculo y Regla de Barrow

**(a) [0'75 puntos] $\int_2^3 f(x) dx$** Por el enunciado, sabemos que $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, lo que significa que $F'(x) = f(x)$. Para resolver una integral definida de una función continua de la que conocemos su primitiva, aplicamos la **Regla de Barrow**, que establece que: $$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$ En este caso, para el intervalo $[2, 3]$: $$\int_2^3 f(x) dx = F(3) - F(2)$$ Sustituimos los valores proporcionados en el enunciado ($F(2) = 1$ y $F(3) = 2$): $$\int_2^3 f(x) dx = 2 - 1 = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función $F$ es primitiva de $f$ si su derivada coincide con la función original. La Regla de Barrow es la herramienta fundamental para calcular áreas y valores de integrales definidas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_2^3 f(x) dx = 1}$$

**(b) [0'75 puntos] $\int_2^3 (5f(x) - 7) dx$** Utilizamos las propiedades de linealidad de la integral definida para separar la expresión en dos integrales independientes: 1. La integral de una resta es la resta de las integrales. 2. La integral de una constante por una función permite sacar la constante fuera de la integral. $$\int_2^3 (5f(x) - 7) dx = 5 \int_2^3 f(x) dx - \int_2^3 7 dx$$ Ya conocemos el valor de $\int_2^3 f(x) dx = 1$ del apartado anterior. Ahora calculamos la integral de la constante $7$: $$\int_2^3 7 dx = [7x]_2^3 = 7(3) - 7(2) = 21 - 14 = 7$$ Sustituimos ambos valores en la expresión principal: $$5 \cdot (1) - 7 = 5 - 7 = -2$$ 💡 **Tip:** La propiedad de linealidad se resume como $\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_2^3 (5f(x) - 7) dx = -2}$$

**(c) [1 punto] $\int_2^3 (F(x))^2 f(x) dx$** Observamos que el integrando es de la forma $u(x)^n \cdot u'(x)$. Como $F(x)$ es la primitiva de $f(x)$, se cumple que $F'(x) = f(x)$. Por tanto, la expresión es: $$\int (F(x))^2 F'(x) dx$$ La primitiva de una función con esta estructura es: $$\int [F(x)]^n F'(x) dx = \frac{[F(x)]^{n+1}}{n+1} + C$$ En nuestro caso, con $n=2$: $$\int_2^3 (F(x))^2 f(x) dx = \left[ \frac{(F(x))^3}{3} \right]_2^3$$ Aplicamos la Regla de Barrow paso a paso: $$\frac{(F(3))^3}{3} - \frac{(F(2))^3}{3}$$ Sustituimos los valores conocidos $F(3)=2$ y $F(2)=1$: $$\frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ 💡 **Tip:** No es necesario realizar un cambio de variable explícito si identificas que tienes la derivada de la función multiplicando a la propia función elevada a una potencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_2^3 (F(x))^2 f(x) dx = \frac{7}{3}}$$