Estudio completo de una función exponencial

**(a) [1 punto] Calcula las asíntotas de $f$.** La función $f(x) = e^x(x - 2)$ es el producto de una función exponencial ($e^x$) y una función polinómica ($x-2$). Ambas son continuas en todo el conjunto de los números reales. Por tanto, el **Dominio** de $f(x)$ es $\mathbb{R}$. Como no existen puntos de discontinuidad ni valores donde la función tienda a infinito de forma puntual, concluimos que: ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$

Para las asíntotas horizontales, estudiamos el comportamiento de la función en el infinito: 1. **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} e^x(x - 2) = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la derecha. 2. **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} e^x(x - 2) = 0 \cdot (-\infty) \text{ (Indeterminación)}$$ Reescribimos la expresión para aplicar la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x - 2}{e^{-x}} = \left[ \frac{-\infty}{+\infty} \right]$$ Derivamos numerador y denominador: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = \frac{1}{-\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la exponencial $e^x$ "gana" en el infinito a cualquier polinomio, por lo que el límite tiende a $0$ cuando la potencia es negativa. ✅ **Resultado (Asíntotas Horizontales):** $$\boxed{y = 0 \text{ cuando } x \to -\infty}$$

Estudiamos la existencia de asíntota oblicua $y = mx + n$ únicamente cuando $x \to +\infty$ (ya que por la izquierda hay horizontal): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x(x - 2)}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^x \left(1 - \frac{2}{x}\right) = (+\infty) \cdot 1 = +\infty$$ Al ser el límite infinito, no existe asíntota oblicua. ✅ **Resultado (Asíntotas Oblicuas):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas oblicuas}}$$

**(b) [1 punto] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Calculamos la primera derivada usando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (e^x)'(x-2) + e^x(x-2)'$$ $$f'(x) = e^x(x-2) + e^x(1) = e^x(x - 2 + 1) = e^x(x - 1)$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$e^x(x - 1) = 0$$ Como $e^x \gt 0$ siempre, la única solución es: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ 💡 **Tip:** Las funciones exponenciales de la forma $e^x$ nunca se anulan, por lo que los ceros de la derivada dependen exclusivamente del factor polinómico. $$\boxed{f'(x) = e^x(x - 1)}$$

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x=1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. Existe un **mínimo relativo** en $x = 1$. Calculamos su valor ordenado: $$f(1) = e^1(1 - 2) = -e$$ ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, 1); \text{ Creciente: } (1, +\infty); \text{ Mínimo relativo: } (1, -e)}$$

**(c) [0'5 puntos] Determina, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de $f$.** Para hallar los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = (e^x(x-1))' = (e^x)'(x-1) + e^x(x-1)'$$ $$f''(x) = e^x(x-1) + e^x(1) = e^x(x - 1 + 1) = xe^x$$ Igualamos a cero: $$xe^x = 0 \implies x = 0$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ para confirmar el cambio de curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ \hline Curvatura & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ Al haber cambio de signo en $x=0$, existe un **punto de inflexión**. Calculamos su ordenada: $$f(0) = e^0(0 - 2) = 1 \cdot (-2) = -2$$ ✅ **Resultado (Puntos de inflexión):** $$\boxed{I(0, -2)}$$