Punto simétrico respecto de una recta

Para trabajar con comodidad, primero obtenemos un punto y un vector director de la recta $r$ expresada como intersección de dos planos. La recta $r$ es: $$\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}$$ Podemos obtener el vector director $\vec{v_r}$ mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos, $\vec{n_1} = (1, 0, -1)$ y $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_r} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$$ $$\vec{v_r} = 1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (1, -1, 1)$$ Para obtener un punto $A \in r$, asignamos un valor a una de las variables, por ejemplo $z = 0$. Sustituyendo en las ecuaciones: - $x - 0 = 0 \implies x = 0$ - $0 + y + 2 = 0 \implies y = -2$ Así, el punto es $A(0, -2, 0)$. La ecuación paramétrica de $r$ es: $$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = -2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos siempre es perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Para hallar el simétrico de $P$ respecto a $r$, primero necesitamos proyectar $P$ sobre la recta. Para ello, definimos un plano auxiliar $\pi$ que sea perpendicular a $r$ y contenga al punto $P(2, 1, -5)$. Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal $\vec{n_\pi}$ coincidirá con el vector director de la recta: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (1, -1, 1)$$ La ecuación del plano será del tipo $x - y + z + D = 0$. Imponemos que pase por $P(2, 1, -5)$: $$1(2) - 1(1) + 1(-5) + D = 0$$ $$2 - 1 - 5 + D = 0 \implies -4 + D = 0 \implies D = 4$$ La ecuación del plano auxiliar es: $$\pi: x - y + z + 4 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano son paralelos.

El punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ será la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Este punto será, además, el **punto medio** entre $P$ y su simétrico $P'$. Sustituimos las expresiones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$(\lambda) - (-2 - \lambda) + (\lambda) + 4 = 0$$ $$\lambda + 2 + \lambda + \lambda + 4 = 0$$ $$3\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -2$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -2$ en las ecuaciones de $r$: $$x_M = -2$$ $$y_M = -2 - (-2) = 0$$ $$z_M = -2$$ El punto de intersección es **$M(-2, 0, -2)$**.

Si $P'(x', y', z')$ es el simétrico de $P$ respecto a la recta $r$, entonces $M$ es el punto medio del segmento $PP'$. La fórmula del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$$ $$y' = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1$$ $$z' = 2(-2) - (-5) = -4 + 5 = 1$$ Por tanto, el punto simétrico es **$P'(-6, -1, 1)$**. 💡 **Tip:** No utilices fórmulas directas de simetría; es mucho más seguro y valorado en los exámenes de Selectividad realizar el proceso constructivo plano-intersección-punto medio. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P'(-6, -1, 1)}$$