Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**(a) [1’25 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2\lambda & \lambda \\ -1 & -1 & \lambda \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & \lambda \\ 0 & 2\lambda & \lambda & \lambda \\ -1 & -1 & \lambda & 0 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debemos estudiar el rango de estas matrices en función de $\lambda$. Empezaremos calculando el determinante de la matriz $A$.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2\lambda & \lambda \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = (1 \cdot 2\lambda \cdot \lambda) + (-1 \cdot \lambda \cdot (-1)) + 0 - [0 + (-1 \cdot 0 \cdot \lambda) + (-1 \cdot 2\lambda \cdot (-1))]$$ $$|A| = 2\lambda^2 + \lambda - (2\lambda) = 2\lambda^2 - \lambda$$ 💡 **Tip:** Revisa con cuidado el cálculo: $|A| = (2\lambda^2) + (\lambda) + (0) - (0 - \lambda + 0) = 2\lambda^2 + 2\lambda$. Recalculamos paso a paso: $|A| = 1(2\lambda^2 - (-\lambda)) - (-1)(0 - (-\lambda)) + 0 = (2\lambda^2 + \lambda) + (-\lambda) = 2\lambda^2$. *Nota corregida:* Volvamos a aplicar Sarrus estrictamente: $$|A| = (1 \cdot 2\lambda \cdot \lambda) + (-1 \cdot \lambda \cdot (-1)) + (0 \cdot 0 \cdot -1) - [(-1 \cdot 2\lambda \cdot 0) + (-1 \cdot 0 \cdot \lambda) + (\lambda \cdot \lambda \cdot 1)]$$ $$|A| = 2\lambda^2 + \lambda - [0 + 0 + \lambda] = 2\lambda^2 + \lambda - \lambda = 2\lambda^2.$$ No, hay un error en la transcripción visual. Hagámoslo por adjuntos de la primera fila: $|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2\lambda & \lambda \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & \lambda \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} = (2\lambda^2 + \lambda) + (0 + \lambda) = 2\lambda^2 + 2\lambda$ Factorizamos el resultado: $$|A| = 2\lambda(\lambda + 1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2\lambda(\lambda + 1) = 0 \implies \begin{cases} \lambda = 0 \\ \lambda = -1 \end{cases}$$

**Caso 1: Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq -1$** Si el parámetro no toma estos valores, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango también será $3$ (ya que contiene a $A$). Dado que el número de incógnitas es $n=3$: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**.

**Caso 2: Si $\lambda = 0$** Sustituimos $\lambda = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la segunda fila es nula, por lo que el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como la columna de términos independientes es nula y la fila 2 es nula, el rango de la ampliada también es 2: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con $3-2=1$ grado de libertad (infinitas soluciones).

**Caso 3: Si $\lambda = -1$** Sustituimos $\lambda = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Existe un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ comprobando si algún menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes es distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0) + (-1) + (0) - [(-2) + (1) + (0)] = -1 - (-1) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Clasificación):** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq 0, -1: \text{SCD} \\ \lambda = 0: \text{SCI} \\ \lambda = -1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**(b) [1’25 puntos] Resuélvelo para $\lambda = 0$ y $\lambda = -1$.** Para **$\lambda = 0$**, el sistema queda: $$\begin{cases} x - y = 0 \\ 0 = 0 \\ -x - y = 0 \end{cases}$$ De la primera ecuación: $x = y$. Sustituyendo en la tercera: $-x - x = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$. Entonces $y = 0$. La variable $z$ no aparece en las ecuaciones supervivientes, por lo que puede tomar cualquier valor real. 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos parametrizar las incógnitas libres. ✅ **Resultado ($\lambda=0$):** $$\boxed{(x, y, z) = (0, 0, \alpha) \text{ con } \alpha \in \mathbb{R}}$$

Para **$\lambda = -1$**, el sistema original es: $$\begin{cases} x - y = -1 \\ -2y - z = -1 \\ -x - y - z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, una de las ecuaciones es redundante (la tercera es la suma de la primera y la segunda). Usamos las dos primeras y parametrizamos $y = \alpha$: 1. De $x - y = -1 \implies x = \alpha - 1$ 2. De $-2y - z = -1 \implies z = 1 - 2y \implies z = 1 - 2\alpha$ Por tanto, la solución general depende del parámetro $\alpha$. ✅ **Resultado ($\lambda=-1$):** $$\boxed{(x, y, z) = (\alpha - 1, \alpha, 1 - 2\alpha) \text{ con } \alpha \in \mathbb{R}}$$