Recta tangente y cálculo de áreas con integrales

**(a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $f$ en el punto $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. **Calculamos la imagen en el punto $x = 1$:** $$f(1) = \frac{9 - 1^2}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ El punto de tangencia es $(1, 2)$. 2. **Calculamos la derivada de la función:** $$f(x) = \frac{9}{4} - \frac{1}{4}x^2 \implies f'(x) = -\frac{2}{4}x = -\frac{1}{2}x$$ 3. **Calculamos la pendiente de la tangente ($m = f'(1)$):** $$f'(1) = -\frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2}$$ 4. **Sustituimos en la ecuación:** $$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$$ Multiplicamos por 2 para simplificar: $2y - 4 = -x + 1 \implies x + 2y = 5$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto nos da el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 2y = 5 \quad \text{o} \quad y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}}$$

**(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$, la recta $x + 2y = 5$ y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.** Para esbozar el recinto, primero identificamos las funciones y sus puntos de intersección: 1. **Función $f(x) = \frac{9-x^2}{4}$:** Es una parábola con ramas hacia abajo, vértice en $(0, 2.25)$ y cortes con el eje $X$ ($y=0$) en: $$9 - x^2 = 0 \implies x = 3, \quad x = -3$$ 2. **Recta $r: x + 2y = 5 \implies y = \frac{5-x}{2}$:** Es una recta decreciente que corta al eje $X$ ($y=0$) en: $$5 - x = 0 \implies x = 5$$ 3. **Intersección entre la parábola y la recta:** $$\frac{9-x^2}{4} = \frac{5-x}{2} \implies 9-x^2 = 2(5-x) \implies 9-x^2 = 10-2x$$ $$x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$$ Como vimos en el apartado (a), la recta es tangente a la curva en $x=1$. El recinto está limitado superiormente por la recta y la curva, e inferiormente por el eje de abscisas entre $x=1$ y $x=5$.

A continuación, se muestra el recinto delimitado por las tres funciones mencionadas. El área que buscamos es la comprendida bajo la recta entre $x=1$ y $x=5$, restándole la parte que queda bajo la parábola entre $x=1$ y $x=3$.

El área del recinto se puede calcular de forma eficiente restando dos áreas: 1. El área del triángulo formado por la recta, el eje $X$ y la vertical $x=1$. 2. El área bajo la parábola desde $x=1$ hasta $x=3$. **Área del triángulo ($A_1$):** Es un triángulo con base desde $x=1$ hasta $x=5$ (longitud 4) y altura $f(1)=2$. $$A_1 = \int_1^5 \frac{5-x}{2} dx = \left[ \frac{5x}{2} - \frac{x^2}{4} \right]_1^5$$ $$A_1 = \left( \frac{25}{2} - \frac{25}{4} \right) - \left( \frac{5}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{25}{4} - \frac{9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Siempre que la frontera sea una recta, puedes usar la fórmula geométrica del área del triángulo para ahorrar tiempo: $\text{Área} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$.

**Área bajo la curva ($A_2$):** Calculamos la integral de $f(x)$ entre $x=1$ y $x=3$: $$A_2 = \int_1^3 \frac{9-x^2}{4} dx = \frac{1}{4} \int_1^3 (9-x^2) dx$$ $$A_2 = \frac{1}{4} \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_1^3$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A_2 = \frac{1}{4} \left( \left( 9(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9(1) - \frac{1^3}{3} \right) \right)$$ $$A_2 = \frac{1}{4} \left( (27 - 9) - (9 - \frac{1}{3}) \right) = \frac{1}{4} \left( 18 - \frac{26}{3} \right)$$ $$A_2 = \frac{1}{4} \left( \frac{54-26}{3} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{28}{3} = \frac{7}{3} \text{ u}^2$$

El área total del recinto es la diferencia entre el área del triángulo y el área bajo la parábola: $$A_{\text{total}} = A_1 - A_2 = 4 - \frac{7}{3}$$ Realizamos la operación: $$A_{\text{total}} = \frac{12 - 7}{3} = \frac{5}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{5}{3} \text{ u}^2 \approx 1.667 \text{ u}^2}$$