Estudio de asíntotas y extremos de una función exponencial

**(a) [1’25 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función $f$.** El dominio de la función ya viene dado por el enunciado: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Buscamos las asíntotas verticales en los puntos que no pertenecen al dominio, en este caso en $x = 1$. Calculamos los límites laterales en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{e^{-x}}{1 - x} = \frac{e^{-1}}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{e^{-x}}{1 - x} = \frac{e^{-1}}{0^-} = -\infty$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Una recta $x=a$ es asíntota vertical si el límite de la función cuando $x$ tiende a $a$ es $\pm\infty$. Suele ocurrir en los valores que anulan el denominador. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 1}$$

Para las asíntotas horizontales, calculamos los límites cuando $x \to \pm\infty$: **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-x}}{1 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x(1 - x)} = \frac{1}{+\infty \cdot (-\infty)} = \frac{1}{-\infty} = 0$$ Por tanto, la recta **$y = 0$** es una asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$. **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{1 - x} = \frac{e^{+\infty}}{+\infty} \rightarrow \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{d}{dx}(e^{-x})}{\frac{d}{dx}(1 - x)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-e^{-x}}{-1} = \lim_{x \to -\infty} e^{-x} = e^{+\infty} = +\infty$$ No hay asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$. 💡 **Tip:** Si existe asíntota horizontal $y=L$ en un extremo, no habrá asíntota oblicua en ese mismo extremo. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 0 \text{ cuando } x \to +\infty}$$

Puesto que ya hemos encontrado una asíntota horizontal en $+\infty$, solo debemos comprobar si existe una oblicua en $-\infty$. La pendiente $m$ vendría dada por: $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{x(1 - x)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{x - x^2} \rightarrow \left[ \frac{\infty}{-\infty} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-e^{-x}}{1 - 2x} \rightarrow \left[ \frac{-\infty}{+\infty} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{-2} = \frac{\infty}{-2} = -\infty$$ Como $m$ no es un valor real finito, **no hay asíntota oblicua**. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas oblicuas}}$$

**(b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos la derivada de $f(x) = \frac{e^{-x}}{1 - x}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(-e^{-x})(1 - x) - e^{-x}(-1)}{(1 - x)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{-e^{-x} + x e^{-x} + e^{-x}}{(1 - x)^2} = \frac{x e^{-x}}{(1 - x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies x e^{-x} = 0$$ Como $e^{-x}$ siempre es positivo para todo $x \in \mathbb{R}$, la única solución es: $$x = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $\frac{u}{v}$ la fórmula es $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. En nuestro caso $u = e^{-x}$ y $v = 1-x$. $$\boxed{f'(x) = \frac{x e^{-x}}{(1 - x)^2}}$$

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico ($x=0$) y el punto de discontinuidad ($x=1$). El denominador $(1-x)^2$ siempre es positivo en el dominio, y $e^{-x}$ también es siempre positivo. Por tanto, el signo de $f'(x)$ depende únicamente del factor $x$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + \\\hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \nexists & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - La función es **decreciente** en $(-\infty, 0)$. - La función es **creciente** en $(0, 1) \cup (1, +\infty)$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 1) \cup (1, +\infty); \text{ Decreciente en } (-\infty, 0)}$$

A partir del estudio del signo de la derivada, observamos que en $x = 0$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$: $$f(0) = \frac{e^{-0}}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$$ No existen máximos relativos en la función, ya que la derivada no cambia de signo de positivo a negativo en ningún punto del dominio. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 1)}$$