Geometría en el espacio: Ecuación del plano, coplanaridad y distancias

**(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano $\pi$ determinado por los puntos $A, B$ y $C$.** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Usaremos el punto $A(0,0,1)$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 0 - 0, -1 - 1) = (1, 0, -2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 0, 1 - 0, -2 - 1) = (0, 1, -3)$$ Como los vectores no son proporcionales, determinan un plano. 💡 **Tip:** Un plano queda definido por un punto $P$ y dos vectores $\vec{u}, \vec{v}$. Cualquier punto $X(x,y,z)$ del plano cumple que $\det(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$.

Para obtener la ecuación implícita del plano, calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(0 - (-2)) - \vec{j}(-3 - 0) + \vec{k}(1 - 0)$$ $$\vec{n} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 1\vec{k} = (2, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, que es el vector normal del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación general del plano tiene la forma $2x + 3y + z + D = 0$. Para hallar $D$, imponemos que el punto $A(0,0,1)$ pertenezca al plano: $$2(0) + 3(0) + 1(1) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{\pi: 2x + 3y + z - 1 = 0}$$

**(b) [0’5 puntos] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.** Cuatro puntos son coplanarios si el cuarto punto pertenece al plano formado por los tres primeros. Comprobamos si $D(1, 2, 0)$ cumple la ecuación de $\pi$: $$\pi(D) = 2(1) + 3(2) + 0 - 1 = 2 + 6 - 1 = 7$$ Como $7 \neq 0$, el punto $D$ no pertenece al plano $\pi$. Alternativamente, podemos usar el producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = (1-0, 2-0, 0-1) = (1, 2, -1)$$ $$\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicando Sarrus: $$[1\cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-3) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 \cdot 2] - [(-2) \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-3) \cdot 2]$$ $$= [-1 + 0 + 0] - [-2 + 0 - 6] = -1 - (-8) = 7$$ Como el determinante es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes y los puntos **no son coplanarios**. $$\boxed{\text{D no pertenece a } \pi \implies \text{No son coplanarios}}$$

**(c) [1 punto] Calcula la distancia del punto $D$ al plano $\pi$.** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos el punto $D(1, 2, 0)$ y el plano $\pi: 2x + 3y + z - 1 = 0$: $$d(D, \pi) = \frac{|2(1) + 3(2) + 1(0) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2}}$$ $$d(D, \pi) = \frac{|2 + 6 + 0 - 1|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{14}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{14}$ en el numerador y denominador: $$d(D, \pi) = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1.87 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** No olvides el valor absoluto en el numerador; la distancia siempre es una magnitud positiva. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(D, \pi) = \frac{\sqrt{14}}{2} \text{ u}}$$