Discusión y resolución de un sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas

**(a) [0’5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro $k$.** Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 2 & k \\ 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{cc|c} k & 2 & 2 \\ 2 & k & k \\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ El número de incógnitas es $n = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que el sistema sea compatible se debe cumplir que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$. Como la matriz $A$ es de dimensión $3 \times 2$, su rango máximo es 2. Por tanto, para que el sistema sea compatible, el rango de $A^*$ también debe ser, como máximo, 2. 💡 **Tip:** Un sistema con más ecuaciones que incógnitas solo es compatible si las ecuaciones extra son combinación lineal de las demás, lo que implica que el determinante de la matriz ampliada (si es cuadrada) debe ser cero.

Calculamos el determinante de la matriz ampliada $A^*$ para ver para qué valores de $k$ su rango es menor que 3: $$|A^*| = \begin{vmatrix} k & 2 & 2 \\ 2 & k & k \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Observamos que la columna 2 ($C_2$) y la columna 3 ($C_3$) son idénticas ($C_2 = C_3$). Por las propiedades de los determinantes, si un determinante tiene dos columnas iguales, su valor es **cero** independientemente del valor de $k$. $$|A^*| = 0 \quad \forall k \in \mathbb{R}$$ Esto significa que las tres filas son linealmente dependientes y, por tanto, $\text{rang}(A^*) \le 2$ para cualquier valor de $k$. Como existe al menos un elemento distinto de cero en $A$, el rango de $A$ y $A^*$ será al menos 1. Al ser $|A^*|=0$, el rango de $A$ siempre coincidirá con el de $A^*$ (ya que la columna añadida es igual a una de las existentes). ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Como rang}(A) = \text{rang}(A^*) \le 2, \text{ el sistema es compatible } \forall k \in \mathbb{R}}$$

**(b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetro $k$ es determinado y para cuáles indeterminado.** El sistema será **Compatible Determinado (SCD)** si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2$ (número de incógnitas). El sistema será **Compatible Indeterminado (SCI)** si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) \lt 2$. Analizamos el rango de $A$ buscando menores de orden 2. Tomamos, por ejemplo, los menores formados por las filas 2 y 3, y por las filas 1 y 3: 1. Menor entre fila 2 y 3: $\begin{vmatrix} 2 & k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - k$ Este determinante es cero si $-2 - k = 0 \implies k = -2$. 2. Menor entre fila 1 y 3: $\begin{vmatrix} k & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -k - 2$ Este determinante también es cero si $k = -2$. 3. Menor entre fila 1 y 2: $\begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} = k^2 - 4$ Este determinante es cero si $k = 2$ o $k = -2$. Analizamos los casos: - **Si $k \neq -2$**: Existe al menos un menor de orden 2 no nulo (por ejemplo, el de las filas 2 y 3). Por tanto, $\text{rang}(A) = 2$. Como el número de incógnitas es 2, el sistema es **Compatible Determinado**. - **Si $k = -2$**: Todos los menores de orden 2 de la matriz $A$ son cero. Por tanto, $\text{rang}(A) = 1$. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 1 \lt 2$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} k \neq -2 \implies \text{SCD (Solución única)} \\ k = -2 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**(c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso.** **Caso 1: $k \neq -2$ (SCD)** Como el sistema es compatible determinado, podemos elegir dos ecuaciones linealmente independientes para resolverlo. Usamos la segunda y la tercera ecuación: $$\begin{cases} 2x + ky = k \\ x - y = -1 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $x = y - 1$. Sustituimos en la primera: $$2(y - 1) + ky = k$$ $$2y - 2 + ky = k$$ $$y(2 + k) = k + 2$$ Como $k \neq -2$, podemos dividir por $(k+2)$: $$y = \frac{k + 2}{k + 2} = 1$$ Calculamos $x$: $$x = 1 - 1 = 0$$ ✅ **Solución SCD:** $$\boxed{x = 0, \quad y = 1}$$

**Caso 2: $k = -2$ (SCI)** Sustituimos $k = -2$ en el sistema: $$\begin{cases} -2x + 2y = 2 \\ 2x - 2y = -2 \\ x - y = -1 \end{cases}$$ Observamos que todas las ecuaciones son proporcionales a $x - y = -1$ (la primera es $-2$ veces la tercera y la segunda es $2$ veces la tercera). El sistema se reduce a una sola ecuación: $$x - y = -1$$ Parametrizamos la solución haciendo $y = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$: $$x = \lambda - 1$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 1 y 2 incógnitas, la solución depende de $2 - 1 = 1$ parámetro. ✅ **Solución SCI:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda - 1 \\ y = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$