Cálculo de integral definida mediante cambio de variable

**(a) [1’75 puntos] Expresa la integral $I$ aplicando el cambio de variable $t = \sqrt{1 - x}$** Para realizar el cambio de variable propuesto, primero debemos despejar la variable $x$ y calcular su diferencial $dx$ en función de $t$. Partimos de la igualdad: $$t = \sqrt{1 - x}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$t^2 = 1 - x \implies x = 1 - t^2$$ Ahora, derivamos con respecto a $t$ para hallar $dx$: $$\frac{dx}{dt} = -2t \implies dx = -2t \, dt$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable del tipo $t = g(x)$, es fundamental no olvidar transformar también el diferencial $dx$ y los límites de integración.

Como la integral original es definida (de $0$ a $1$), debemos calcular los nuevos límites para la variable $t$ usando la relación $t = \sqrt{1 - x}$: - Si **$x = 0$**: $$t = \sqrt{1 - 0} = \sqrt{1} = 1$$ - Si **$x = 1$**: $$t = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$$ Por tanto, la integral en $t$ irá desde el límite inferior $1$ hasta el límite superior $0$.

Sustituimos todos los elementos ($x$, $\sqrt{1-x}$, $dx$ y límites) en la integral original: $$I = \int_1^0 \frac{1 - t^2}{1 + t} (-2t) \, dt$$ Para simplificar la fracción, observamos que el numerador es una diferencia de cuadrados: $1 - t^2 = (1 - t)(1 + t)$. $$I = \int_1^0 \frac{(1 - t)(1 + t)}{1 + t} (-2t) \, dt$$ $$I = \int_1^0 (1 - t)(-2t) \, dt$$ Podemos usar el signo menos del diferencial para invertir los límites de integración (de $1 \to 0$ a $0 \to 1$): $$I = \int_0^1 (1 - t)(2t) \, dt$$ $$I = \int_0^1 (2t - 2t^2) \, dt$$ ✅ **Resultado del apartado (a):** $$\boxed{I = \int_0^1 (2t - 2t^2) \, dt}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$. Esto es muy útil para dejar el límite inferior menor que el superior.

**(b) [0’75 puntos] Calcula el valor de $I$.** Ahora procedemos a integrar la función polinómica obtenida en el apartado anterior: $$I = \int_0^1 (2t - 2t^2) \, dt = \left[ 2\frac{t^2}{2} - 2\frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \left[ t^2 - \frac{2t^3}{3} \right]_0^1$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**, evaluando en el límite superior y restando la evaluación en el límite inferior: $$I = \left( 1^2 - \frac{2(1)^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{2(0)^3}{3} \right)$$ $$I = \left( 1 - \frac{2}{3} \right) - 0 = \frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I = \frac{1}{3}}$$