Continuidad y recta tangente de una función a trozos

**(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de $k$.** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$, debe ser continua en el punto de salto entre ramas, $x = 0$. La condición de continuidad en $x = a$ requiere que: 1. Exista $f(a)$. 2. Exista el límite $\lim_{x \to a} f(x)$. 3. Ambos valores coincidan: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. En nuestro caso, para $x = 0$: - Imagen: $f(0) = 0 + k = k$. - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} (x + k) = k$. - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{x^2} - 1}{x^2}$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si sus límites laterales existen, son finitos y coinciden con el valor de la función en dicho punto.

Calculamos el límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{(e^{x^2} - 1)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x e^{x^2}}{2x}$$ Simplificamos la expresión cancelando el factor $2x$ (ya que $x \neq 0$): $$\lim_{x \to 0^+} e^{x^2} = e^{0^2} = e^0 = 1$$ Para que la función sea continua, los límites laterales deben ser iguales: $$k = 1$$ ✅ **Resultado (valor de k):** $$\boxed{k = 1}$$

**(b) [1’25 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, $a = 1$. Como $1 > 0$, debemos usar la segunda rama de la función: $$f(x) = \frac{e^{x^2} - 1}{x^2}$$ Calculamos la ordenada del punto de tangencia: $$f(1) = \frac{e^{1^2} - 1}{1^2} = \frac{e - 1}{1} = e - 1$$ El punto de tangencia es **$P(1, e - 1)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para $x > 0$ la función está definida por la expresión racional con la exponencial.

Para hallar la pendiente de la recta tangente $m = f'(1)$, derivamos $f(x)$ para $x > 0$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x e^{x^2}) \cdot x^2 - (e^{x^2} - 1) \cdot 2x}{(x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^3 e^{x^2} - 2x e^{x^2} + 2x}{x^4}$$ Podemos simplificar dividiendo entre $x$ (ya que estamos en $x=1 \neq 0$): $$f'(x) = \frac{2x^2 e^{x^2} - 2e^{x^2} + 2}{x^3}$$ Ahora evaluamos en $x = 1$: $$f'(1) = \frac{2(1)^2 e^{1^2} - 2e^{1^2} + 2}{1^3} = \frac{2e - 2e + 2}{1} = 2$$ La pendiente de la recta tangente es **$m = 2$**. 💡 **Tip:** La derivada del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Aquí $u = e^{x^2} - 1$ y $v = x^2$.

Sustituimos el punto $(1, e - 1)$ y la pendiente $m = 2$ en la fórmula de la recta punto-pendiente: $$y - (e - 1) = 2(x - 1)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y - e + 1 = 2x - 2$$ $$y = 2x - 2 + e - 1$$ $$y = 2x + e - 3$$ ✅ **Resultado (ecuación de la recta tangente):** $$\boxed{y = 2x + e - 3}$$