Vértices de un rectángulo y puntos sobre una recta

Para trabajar cómodamente con el punto $C$, que pertenece a la recta $r$, lo primero es expresar dicha recta en ecuaciones paramétricas. La ecuación continua de la recta es: $$r: x = \frac{y - 6}{-2} = \frac{z + 1}{2}$$ Identificamos un punto de la recta $P_r(0, 6, -1)$ y su vector director $\vec{v_r} = (1, -2, 2)$. Así, cualquier punto $C$ que pertenezca a la recta $r$ tendrá la forma: $$C(\lambda, 6 - 2\lambda, -1 + 2\lambda)$$ 💡 **Tip:** Pasar a paramétricas permite expresar las tres coordenadas de un punto desconocido en función de un único parámetro $\lambda$, lo que simplifica mucho la resolución de ecuaciones.

Como $A, B$ y $C$ son vértices consecutivos de un rectángulo, el ángulo formado por los lados $AB$ y $BC$ debe ser de $90^{\circ}$. Esto significa que los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ deben ser perpendiculares. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 1 - 1, 2 - 5) = (0, 0, -3)$$ Calculamos el vector $\vec{BC}$ en función de $\lambda$: $$\vec{BC} = C - B = (\lambda - 1, (6 - 2\lambda) - 1, (-1 + 2\lambda) - 2) = (\lambda - 1, 5 - 2\lambda, 2\lambda - 3)$$ La condición de perpendicularidad implica que su producto escalar es cero: $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$$ $$(0, 0, -3) \cdot (\lambda - 1, 5 - 2\lambda, 2\lambda - 3) = 0$$ $$0(\lambda - 1) + 0(5 - 2\lambda) - 3(2\lambda - 3) = 0$$ $$-6\lambda + 9 = 0 \implies 6\lambda = 9 \implies \lambda = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** En un rectángulo, los vectores formados por lados consecutivos siempre tienen un producto escalar igual a cero.

Una vez hallado el valor del parámetro $\lambda = \frac{3}{2}$, sustituimos en la expresión general del punto $C$: - $x_C = \lambda = \frac{3}{2}$ - $y_C = 6 - 2\left(\frac{3}{2}\right) = 6 - 3 = 3$ - $z_C = -1 + 2\left(\frac{3}{2}\right) = -1 + 3 = 2$ Por tanto, el vértice $C$ es: $$\boxed{C\left(\frac{3}{2}, 3, 2\right)}$$

Para hallar el cuarto vértice $D(x, y, z)$, utilizamos la propiedad de que en un rectángulo (que es un paralelogramo), los vectores de los lados opuestos son iguales. Es decir, $\vec{AD} = \vec{BC}$. Ya conocemos $\vec{BC}$ sustituyendo $\lambda = \frac{3}{2}$: $$\vec{BC} = \left(\frac{3}{2} - 1, 5 - 2\left(\frac{3}{2}\right), 2\left(\frac{3}{2}\right) - 3\right) = \left(\frac{1}{2}, 2, 0\right)$$ Igualamos con $\vec{AD} = D - A = (x - 1, y - 1, z - 5)$: $$(x - 1, y - 1, z - 5) = \left(\frac{1}{2}, 2, 0\right)$$ Resolvemos componente a componente: 1. $x - 1 = \frac{1}{2} \implies x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 2. $y - 1 = 2 \implies y = 3$ 3. $z - 5 = 0 \implies z = 5$ Así, el vértice $D$ es: $$\boxed{D\left(\frac{3}{2}, 3, 5\right)}$$ Podemos comprobar que $\vec{AB} = \vec{DC}$: $\vec{AB} = (0, 0, -3)$ $\vec{DC} = (3/2 - 3/2, 3 - 3, 2 - 5) = (0, 0, -3)$ Como coinciden, el cálculo es correcto.