Ecuación matricial con potencias

Para resolver la ecuación matricial $XA + A^3B = A$, el primer paso es aislar el término que contiene la matriz incógnita $X$. Restamos $A^3B$ en ambos lados de la igualdad: $$XA = A - A^3B$$ Para poder despejar $X$, necesitamos multiplicar por la derecha por la matriz inversa de $A$ (denotada como $A^{-1}$), siempre que esta exista. Si $|A| \neq 0$, entonces: $$X = (A - A^3B)A^{-1}$$ Utilizando la propiedad distributiva de las matrices: $$X = AA^{-1} - A^3BA^{-1} = I - A^3BA^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el orden de los factores importa en el álgebra matricial. Como $A$ está a la derecha de $X$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha.

Comprobamos si $A$ es invertible calculando su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 0 \cdot 0) - (0 \cdot 0 \cdot 0)$$ $$|A| = 0 + 0 + 0 - 1 - 0 - 0 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Además, observamos que $A$ es una matriz de permutación simétrica. Vamos a calcular $A^2$ para ver si presenta alguna propiedad especial: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $A^2 = I$, se deduce que **$A = A^{-1}$** y que **$A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$**. 💡 **Tip:** Si al multiplicar una matriz por sí misma obtienes la identidad ($A^2 = I$), se dice que la matriz es involutiva, y su inversa es ella misma.

Retomamos la expresión despejada en el paso 1 y aplicamos las propiedades encontradas ($A^3 = A$ y $A^{-1} = A$): $$X = I - A^3BA^{-1}$$ Sustituyendo $A^3$ por $A$ y $A^{-1}$ por $A$: $$X = I - ABA$$ Esta simplificación reduce drásticamente el número de operaciones necesarias, ya que ahora solo debemos calcular el producto $ABA$ y restarlo a la identidad.

Calculamos primero el producto $M = AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones fila por columna: - Fila 1: $(0\cdot2 + 0\cdot0 + 1\cdot(-1), \ 0\cdot(-1) + 0\cdot2 + 1\cdot0, \ 0\cdot0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot2) = (-1, 0, 2)$ - Fila 2: $(0\cdot2 + 1\cdot0 + 0\cdot(-1), \ 0\cdot(-1) + 1\cdot2 + 0\cdot0, \ 0\cdot0 + 1\cdot(-1) + 0\cdot2) = (0, 2, -1)$ - Fila 3: $(1\cdot2 + 0\cdot0 + 0\cdot(-1), \ 1\cdot(-1) + 0\cdot2 + 0\cdot0, \ 1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 0\cdot2) = (2, -1, 0)$ $$AB = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Ahora multiplicamos el resultado anterior por $A$ por la derecha: $$(AB)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ - Fila 1: $(-1\cdot0 + 0\cdot0 + 2\cdot1, \ -1\cdot0 + 0\cdot1 + 2\cdot0, \ -1\cdot1 + 0\cdot0 + 2\cdot0) = (2, 0, -1)$ - Fila 2: $(0\cdot0 + 2\cdot0 + (-1)\cdot1, \ 0\cdot0 + 2\cdot1 + (-1)\cdot0, \ 0\cdot1 + 2\cdot0 + (-1)\cdot0) = (-1, 2, 0)$ - Fila 3: $(2\cdot0 + (-1)\cdot0 + 0\cdot1, \ 2\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot0, \ 2\cdot1 + (-1)\cdot0 + 0\cdot0) = (0, -1, 2)$ $$ABA = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = I - ABA$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 - 2 & 0 - 0 & 0 - (-1) \\ 0 - (-1) & 1 - 2 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - (-1) & 1 - 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$$